Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}m{x^2} + 2mx – 5m + 1\) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng \(3\). Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}m{x^2} + 2mx – 5m + 1\) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng \(3\). Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).

A. \(17\).                      

B.  \(8\).                     

C.  \(13\).                  

D.  \(9\).

Lời giải

Ta có \(y’ = {x^2} – mx + 2m\), \(\Delta  = {m^2} – 8m\).

Nếu \(\Delta  \le 0\) thì \(y’ \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Nếu \(\Delta  > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} – 8m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 8\end{array} \right.\) thì \(y’ = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Gọi \({x_1},\,{x_2}\) là hai nghiệm của (*), khi đó ta có bảng biến thiên:

Hàm số \(y\) nghịch biến trên một khoảng có độ dài đúng bằng \(3\) khi và chỉ khi \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = 3\).

\(\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {m^2} – 8m – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 9\\m =  – 1\end{array} \right.\) (thoả mãn)

Vậy \(S = \left\{ {9; – 1} \right\}\).Suy ra tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng \(8\).