Câu hỏi:
Giá trị \(m\) để đường thẳng \(\Delta :y = m(2 – x) + 2\) cắt đồ thị \((C):y = – {x^3} + 3{x^2} – 2\) tại 3 điểm phân biệt \(A(2\,;2),B,C\) sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \((C)\) tại \(B\) và \(C\) đạt giá trị nhỏ nhất là:
A. \(m = 1\).
B. \(m = – 2\).
C. \(m = 2\).
D. \(m = – 1\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\(y = – {x^3} + 3{x^2} – 2\)
\(y’ = – 3{x^2} + 6x\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\Delta \) và \((C)\):
\( – {x^3} + 3{x^2} – 2 = m(2 – x) + 2\,\,\,(1)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\,(y = 2)\\{x^2} – x – 2 – m = 0\,\,\,(2)\end{array} \right.\).
Đường thẳng \(\Delta \) cắt đồ thị \((C)\) tại \(3\) điểm phân biệt \(A(2\,;\,2),\,B,\,C\)
\( \Leftrightarrow \) \((1)\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) \((2)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{(2)^2} – (2) – 2 – m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 9 > 0\\ – m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > – \frac{9}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\,\,\,(*)\).
Với điều kiện (*), phương trình (2) có \(2\) nghiệm phân biệt \({x_B}\) và \({x_C}\).
Theo định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 1\\{x_B}.{x_C} = – m – 2\end{array} \right.\).
Tích hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \((C)\) tại \(B\) và \(C\) là
\({k_B}.{k_C} = f'({x_B})f'({x_C}) = ( – 3x_B^2 + 6{x_B})( – 3x_C^2 + 6{x_C}) = 9(x_B^2 – 2{x_B})(x_C^2 – 2{x_C})\).
\( = 9\left[ {x_B^2x_C^2 – 2{x_B}{x_C}({x_B} + {x_C}) + 4{x_B}{x_C}} \right] = 9\left[ {{{(m + 2)}^2} – 2(m + 2)} \right]\)
\( = 9\left[ {{{(m + 1)}^2} – 1} \right] = 9{(m + 1)^2} – 9 \ge – 9\).
Dấu “=” xảy ra khi \(m = – 1\) (thỏa điều kiện (*)).
Vậy \(m = – 1\) thỏa yêu cầu bài toán.
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trả lời