ĐỀ BÀI:
Giả sử đồ thị hàm số \(y = \left( {{m^2} + 1} \right){x^4} – 2m{x^2} + {m^2} + 1\) có \(3\) điểm cực trị \(A,B,C\)với \({x_A} < {x_B} < {x_C}\). Khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(AC\) được một khối tròn xoay. Giá trị của \(m\) để thể tích khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( { – 2;0} \right)\).
B. \(\left( {0;2} \right)\).
C. \(\left( {2;4} \right)\).
D. \(\left( {4;6} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\(y’ = 4\left( {{m^2} + 1} \right){x^3} – 4mx = 4x\left[ {\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} – m} \right]\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow 4x\left[ {\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} – m} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {m > 0} \right)\)
Với \(m > 0\)đồ thị hàm số có ba điểm cực trị (với \({x_A} < {x_B} < {x_C}\)):
\(A\left( { – \sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} ;{m^2} + 1 – \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}} \right);B\left( {0;{m^2} + 1} \right);C\left( {\sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} ;{m^2} + 1 – \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}} \right)\)
Gọi \(I\) là trung điểm \(AC\)
Quay tam giác \(ABC\)quanh trục \(AC\) thì được khối tròn xoay có thể tích là:
\(V = 2.\frac{1}{3}.\pi {r^2}h = \frac{2}{3}\pi .B{I^2}.IC = \frac{2}{3}\pi {\left( {\frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}} \right)^2}.\sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} = \frac{2}{3}\pi \sqrt {\frac{{{m^9}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^5}}}} \)
Xét hàm số \(f\left( m \right) = \frac{{{m^9}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^5}}}\).
\(f’\left( m \right) = \frac{{{m^8}\left( {9 – {m^2}} \right)}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^6}}} = 0 \Leftrightarrow m = 3{\rm{ }}\left( {m > 0} \right)\)
Ta có BBT
Giá trị lớn nhất của \(f\left( m \right)\) khi \(m > 0\) tại \(m = 3\) nên thể tích có giá trị lớn nhất là tại \(m = 3\).
===========
Trả lời