Câu hỏi:
Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 2\left( {m – 1} \right){x^2} + {m^4} – 3{m^2} + 2017\)có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32?
- A. m=2
- B. m=3
- C. m=4
- D. m=5
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Ta có \(y’ = 4{x^3} – 4\left( {m – 1} \right)x = 4x\left( {{x^2} – m + 1} \right);\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m – 1\end{array} \right.\)
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’=0 có ba nghiệm phân biệt hay \(m – 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\left( * \right)\)
Kho đó tọa độ các điểm cực trị là:
\(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {0;{m^4} – 3{m^2} + 2017} \right)\\B\left( {\sqrt {m – 1} ;{m^4} – 4{m^2} + 2m + 2016} \right)\\C\left( { – \sqrt {m – 1} ;{m^4} – 4{m^2} + 2m + 2016} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = AC = \sqrt {{{\left( {m – 1} \right)}^4} + \left( {m – 1} \right)} \\BC = 2\sqrt {m – 1} \end{array} \right.\)
Suy ra tam giác ABC cân tại A.
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC thì H là trung điểm BC nên \(H(0;{m^4} – 4{m^2} + 2m + 2016)\)
Ta có: \(AH = \sqrt {{{( – {m^2} + 2m – 1)}^2}} = {(m – 1)^2}\)
Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = {\left( {m – 1} \right)^2}\sqrt {\left( {m – 1} \right)} = 32 \Leftrightarrow {\left( {m – 1} \right)^5} = 1024 \Leftrightarrow m – 1 = 4 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*)).
======
Các bạn xem lại Lý thuyết cực trị hàm số.
Trả lời