Câu hỏi:
Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 2\left( {m – 1} \right){x^2} + {m^4} – 3{m^2} + 2017\)có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32?
- A. m=2
- B. m=3
- C. m=4
- D. m=5
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Ta có \(y’ = 4{x^3} – 4\left( {m – 1} \right)x = 4x\left( {{x^2} – m + 1} \right);\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m – 1\end{array} \right.\)
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’=0 có ba nghiệm phân biệt hay \(m – 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\left( * \right)\)
Kho đó tọa độ các điểm cực trị là:
\(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {0;{m^4} – 3{m^2} + 2017} \right)\\B\left( {\sqrt {m – 1} ;{m^4} – 4{m^2} + 2m + 2016} \right)\\C\left( { – \sqrt {m – 1} ;{m^4} – 4{m^2} + 2m + 2016} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = AC = \sqrt {{{\left( {m – 1} \right)}^4} + \left( {m – 1} \right)} \\BC = 2\sqrt {m – 1} \end{array} \right.\)
Suy ra tam giác ABC cân tại A.
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC thì H là trung điểm BC nên \(H(0;{m^4} – 4{m^2} + 2m + 2016)\)
Ta có: \(AH = \sqrt {{{( – {m^2} + 2m – 1)}^2}} = {(m – 1)^2}\)
Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = {\left( {m – 1} \right)^2}\sqrt {\left( {m – 1} \right)} = 32 \Leftrightarrow {\left( {m – 1} \right)^5} = 1024 \Leftrightarrow m – 1 = 4 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*)).
======
Các bạn xem lại Lý thuyết cực trị hàm số.
Trả lời