Đề toán 2022 [Mức độ 4] Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = n,\left| {{z_3}} \right| = m\) và \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = k{z_1}{z_2}\,\left( {n > 0,m > 0,k > 0} \right)\). Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích tam giác ABC theo \(m,n,k\)
Lời giải
Đặt \({z_3} = k{z_4}\) và gọi \(D\) là điểm biểu diễn của \({z_4}\). Khi đó \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = n,\left| {{z_4}} \right| = \frac{m}{k}\).
Ta có: \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right).{z_3} = k{z_1}{z_2}\)\( \Rightarrow \) \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_4} = {z_1}{z_2}\)\( \Rightarrow \) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \frac{{k{n^2}}}{m}\).
mà \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\) nên \(AB = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \frac{{n\sqrt {4{m^2} – {k^2}} }}{m}\)
Lại có \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_4} = {z_1}{z_2}\)\( \Rightarrow \) \({z_1}\left( {{z_4} – {z_2}} \right) = – {z_2}{z_4}\) và \({z_2}\left( {{z_4} – {z_1}} \right) = – {z_1}{z_4}\)
\( \Rightarrow \) \(BD = \left| {{z_4} – {z_2}} \right| = \frac{m}{k}\) và \(AD = \left| {{z_1} – {z_4}} \right| = \frac{m}{k}\)
\( \Rightarrow \) \(DA = DB\) \( \Rightarrow \) \(OD\) là trung trực của \(AB\) \( \Rightarrow \) \(CA = CB\) \( \Rightarrow \) \(\Delta CAB\) cân tại \(C\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\) ta có
\(OH = \sqrt {O{A^2} – H{A^2}} = \sqrt {{n^2} – {{\left( {\frac{{n\sqrt {4{m^2} – {k^2}} }}{{2m}}} \right)}^2}} = \frac{{nk}}{{2m}}\)
\( \Rightarrow \) \(CH = OC – OH = m – \frac{{nk}}{{2m}} = \frac{{2{m^2} – nk}}{{2m}}\)
Vậy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.CH = \frac{{n\sqrt {4{m^2} – {k^2}} \left( {2{m^2} – nk} \right)}}{{4{m^2}}}\)
\(n = 1;\,m = 2;\,k = 3\) \( \Rightarrow \) \({S_{ABC}} = \frac{{1\sqrt {{{4.2}^2} – {3^2}} \left( {{{2.2}^2} – 1.3} \right)}}{{{{4.2}^2}}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\)
===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.
Trả lời