Đề toán 2022  [Mức độ 4] Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(8\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2}\). Gọi \(A,\,B,\,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác \(ABC\) bằng 

Đề toán 2022  [Mức độ 4] Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(8\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2}\). Gọi \(A,\,B,\,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác \(ABC\) bằng 

A. \(\frac{{\sqrt {55} }}{{32}}\). B. \(\frac{{\sqrt {55} }}{{16}}\). C. \(\frac{{\sqrt {55} }}{{24}}\). D. \(\frac{{\sqrt {55} }}{8}\).

Lời giải

Ta có \(8\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2} \Leftrightarrow \frac{8}{{{z_2}}} + \frac{8}{{{z_1}}} = \frac{3}{{{z_3}}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{8\overline {{z_2}} }}{{{z_2}\overline {{z_2}} }} + \frac{{8\overline {{z_1}} }}{{{z_1}\overline {{z_1}} }} = \frac{{3\overline {{z_3}} }}{{{z_3}\overline {{z_3}} }} \Leftrightarrow \frac{{8\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}} + \frac{{8\overline {{z_1}} }}{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}}} = \frac{{3\overline {{z_3}} }}{{{{\left| {{z_3}} \right|}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{8\overline {{z_2}} }}{4} + \frac{{8\overline {{z_1}} }}{4} = \frac{{3\overline {{z_3}} }}{1} \Leftrightarrow \overline {{z_2}}  + \overline {{z_1}}  = \frac{3}{2}\overline {{z_3}} \) \(\left( 1 \right)\).

Gọi \(A’,\,B’,\,C’\) lần lượt là các điểm biểu diễn của \(\overline {{z_1}} ,\overline {{z_2}} ,\overline {{z_3}} \) suy ra \(A’,\,B’,\,C’\) lần lượt đối xứng với \(A,\,B,\,C\) qua trục \(Ox\)\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta A’B’C’}}\).

+ Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OA’}  + \overrightarrow {OB’}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {OC’}  = \overrightarrow {OD} \), trong đó \(OA’ = OB’ = 2OC’ = 2,\,\overrightarrow {OD}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {OC’} \), suy ra tứ giác \(OA’DB’\) là hình thoi có \(OA’ = OB’ = 2,\,OD = \frac{3}{2}\) và \(C’ \in OD:\,OC’ = \,1\).

+ Ta có \(DC’ = \frac{1}{2} \Rightarrow IC’ = ID – DC’ = \frac{3}{4} – \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow IC’ = \frac{1}{3}ID \Rightarrow {S_{\Delta A’B’C’}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta OA’B’}}\).

+ \({S_{\Delta OA’B’}} = 2{S_{\Delta OA’I}} = OI.\sqrt {O{{A’}^2} – O{I^2}}  = \frac{3}{4}.\sqrt {4 – \frac{9}{{16}}}  = \frac{{3\sqrt {55} }}{{16}}\).

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta A’B’C’}} = \frac{{\sqrt {55} }}{{16}}\).

=========== Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.