Đề toán 2022 [ Mức độ 4] Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\)\(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2}\). Gọi \(A,B,C\)lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác \(ABC\) bằng
A. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\). B. \(\frac{3}{8}\). C. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{8}\). D. \(\frac{3}{4}\).
Lời giải
Ta có \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2}\) nên \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1,\,\,\,\left| {{z_3}} \right| = 2,\,\,\,\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 1\).
Suy ra \(\Delta OAB\)cân tại \(O\)và \(\widehat {AOB} = {120^0}\) \( \Rightarrow AB = \sqrt 3 \)
và \(\frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} = \frac{2}{{{z_3}}} \Rightarrow \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = \frac{{\overline {{z_3}} }}{2} \Rightarrow {z_3} = 2\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OC} = 2\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = 4\overrightarrow {OH} \Rightarrow 4OH = OC = 2 \Rightarrow CH = \frac{3}{2}\).
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}CH.AB = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).
=========== Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.
Trả lời