Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(|z{|^2} = |z – \mathop z\limits^\_ |\) và \(|(z – 2)(\mathop z\limits^\_ – 2i)| = |z + 2i{|^2}\)
A. \(2\) B. \({\rm{3}}\) C. \(1\) D. \(4\)
Lời giải
Đặt: \(z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})\)
Theo giả thiết: \(\left\{ \begin{array}{l}|z{|^2} = |z – \mathop z\limits^\_ |(1)\\|(z – 2)(\mathop z\limits^\_ – 2i)| = |z + 2i{|^2}(2)\end{array} \right.\)
Có \((2) \Leftrightarrow |(z – 2)(\mathop z\limits^\_ – 2i)| = |(z + 2i)(\mathop z\limits^\_ – 2i)| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}|\mathop z\limits^\_ – 2i| = 0\\|z – 2| = |z + 2i|\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(|\mathop z\limits^\_ – 2i| = 0 \Leftrightarrow \mathop z\limits^\_ = 2i \Leftrightarrow z = – 2i\). Thay vào (1) ta được \(| – 4| = | – 2i – 2i|\) (thỏa mãn)
Trường hợp 2: \(|z – 2| = |z + 2i| \Leftrightarrow {(a – 2)^2} + {b^2} = {a^2} + {(b + 2)^2} \Leftrightarrow a = – b \Rightarrow z = a – ai\)
Thay vào (1) ta được \(|{(a – ai)^2}| = |(a – ai) – (a + ai)|\)\( \Leftrightarrow 2{a^2} = | – 2ai| \Leftrightarrow 2{a^2} = 2|a| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow z = 0\\a = 1 \Rightarrow z = 1 – i\\a = – 1 \Rightarrow z = – 1 + i\end{array} \right.\)
Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán
===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.
Trả lời