Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z – \overline z } \right|\) và \(\left| {\left( {z – 4} \right)\left( {\overline z – 4i} \right)} \right| = {\left| {z + 4i} \right|^2}\)?
A. \(3\). B. \(1\). C. \(2\). D. \(4\).
Lời giải
Chọn D
Ta có \(\overline z – 4i = \overline {z + 4i} \, \Rightarrow \,\left| {\overline z – 4i} \right| = \left| {\overline {z + 4i} } \right| = \left| {z + 4i} \right|\).
Do đó \(\left| {\left( {z – 4} \right)\left( {\overline z – 4i} \right)} \right| = {\left| {z + 4i} \right|^2} \Leftrightarrow \left| {z – 4} \right|.\left| {\overline z – 4i} \right| = {\left| {z + 4i} \right|^2}\)\( \Leftrightarrow \left| {z – 4} \right|.\left| {z + 4i} \right| = {\left| {z + 4i} \right|^2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z + 4i} \right| = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left| {z – 4} \right| = \left| {z + 4i} \right|\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
* Xét \(\left( 1 \right)\): \(\left| {z + 4i} \right| = 0\, \Leftrightarrow z + 4i = 0 \Leftrightarrow z = – 4i \Rightarrow \overline z = 4i\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{z^2} = – 16 \Rightarrow \left| {{z^2}} \right| = 16\\\left| {z – \overline z } \right| = \left| { – 8i} \right| = 8\end{array} \right.\) suy ra \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z – \overline z } \right|\) (thỏa mãn yêu cầu bài toán).
* Xét \(\left( 2 \right)\): \(\left| {z – 4} \right| = \left| {z + 4i} \right|\,\)
Giả sử \(z = a + bi,\,\)với \(a,\,b \in \mathbb{R}.\)
Ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {a – 4} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b + 4} \right)^2} \Leftrightarrow b = – a\).
Hay \(z = a – ai \Rightarrow {z^2} = – 2{a^2}i \Rightarrow \left| {{z^2}} \right| = 2{a^2}\) và \(z – \overline z = – 2ai \Rightarrow \left| {z – \overline z } \right| = 2\left| a \right|\).
Khi đó \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z – \overline z } \right| \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = 2 – 2i\\z = – 2 + 2i\end{array} \right.\).
Vậy có \(4\) số phức \(z = 0\), \(z = 2 – 2i\), \(z = – 2 + 2i\), \(z = – 4i\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.
Trả lời