Đề toán 2022 [2D4-2.5-4] Cho các số \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\). Gọi
\(A,\,B,\,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác \(ABC\) bằng
A. \(\frac{{\sqrt 7 }}{4}\). B. \(\frac{{3\sqrt 7 }}{4}\). C. \(\frac{{\sqrt 7 }}{2}\). D. \(\frac{{3\sqrt 7 }}{2}\).
Lời giải
Ta có \(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}\left( {{z_1} + {z_2}} \right) \Rightarrow 3\left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right| = 4\left| {{z_3}} \right|.\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3\)
\( \Leftrightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = 9 \Leftrightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {z_1}.\overline {{z_2}} + {z_2}.\overline {{z_1}} = 9 \Leftrightarrow {z_1}.\overline {{z_2}} + {z_2}.\overline {{z_1}} = 1\).
Lại có \(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}\left( {{z_1} + {z_2}} \right) \Leftrightarrow 3{z_1}.\left( {{z_2} – {z_3}} \right) = {z_3}.\left( {{z_1} + 4{z_2}} \right) \Rightarrow \left| {{z_2} – {z_3}} \right| = \frac{1}{6}\left| {{z_1} + 4{z_2}} \right|\).
Ta có \({\left| {{z_1} + 4{z_2}} \right|^2} = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 16{\left| {{z_2}} \right|^2} + 4\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + {z_2}\overline {{z_1}} } \right) = 72 \Leftrightarrow \left| {{z_1} + 4{z_2}} \right| = 6\sqrt 2 \).
Từ đó \(\left| {{z_2} – {z_3}} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow BC = \sqrt 2 \).
Mặt khác \(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}\left( {{z_1} + {z_2}} \right) \Leftrightarrow 3{z_2}.\left( {{z_1} – {z_3}} \right) = {z_3}.\left( {{z_2} + 4{z_1}} \right) \Rightarrow \left| {{z_1} – {z_3}} \right| = \frac{1}{6}\left| {{z_2} + 4{z_1}} \right|\).
Mà \({\left| {{z_2} + 4{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} + 16{\left| {{z_1}} \right|^2} + 4\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + {z_2}\overline {{z_1}} } \right) = 72 \Leftrightarrow \left| {{z_2} + 4{z_1}} \right| = 6\sqrt 2 \) nên \(\left| {{z_1} – {z_3}} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow AC = \sqrt 2 \).
Lại có \({\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} – \left( {{z_1}\overline {{z_2}} + {z_2}\overline {{z_1}} } \right) = 7\)\( \Leftrightarrow \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt 7 \Leftrightarrow AB = \sqrt 7 \).
Tam giác \(ABC\) có nửa chu vi \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{\sqrt 7 + 2\sqrt 2 }}{2}\).
Áp dụng công thức Hêrông ta được \(S = \sqrt {p\left( {p – AB} \right)\left( {p – AC} \right)\left( {p – BC} \right)} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).
Chọn đáp án A.
===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.
Trả lời