Câu hỏi:
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} – 1} \right){e^{{x^3} – 3{\rm{x}}}}\) biết rằng hàm số \(F\left( x \right)\) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành.
-
A.
\(F\left( x \right) = {e^{{x^3} – 3{\rm{x}}}} – {e^2}.\) -
B.
\(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} – 3x + 2}} – 1}}{{3{e^2}}}.\) -
C.
\(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} – 3x}} – {e^2}}}{3}.\) -
D.
\(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} – 3x}} – 1}}{3}.\)
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: B
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {{x^2} – 1} \right){e^{{x^3} – 3{\rm{x}}}}d{\rm{x}}} \)
Đặt \(u = {x^3} – 3x \Rightarrow du = 3\left( {{x^2} – 1} \right)dx\)
Vậy: \(F(x) = \frac{1}{3}\int {{e^u}du} = \frac{1}{3}{e^u} + C = \frac{{{e^{{x^3} – 3{\rm{x}}}}}}{3} + C\)
Ta có: \(F’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 1} \right){e^{{x^3} – 3{\rm{x}}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)
Mặt khác \(F”\left( x \right) = f’\left( x \right) = 2{\rm{x}}{e^{{x^3} – 3{\rm{x}}}} + 3\left( {{x^2} – 1} \right){e^{{x^3} – 3{\rm{x}}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F”\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}} > 0\\
F”\left( { – 1} \right) = – 2{{\rm{e}}^2}
\end{array} \right..\)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Từ đề bài suy ra:\(F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = – \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} – 3{\rm{x}}}}}}{3} – \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} = \frac{{{e^{{x^3} – 3{\rm{x}} + 2}} – 1}}{{3{{\rm{e}}^2}}}.\)
======
Các bạn xem lại Lý thuyết cực trị hàm số.
Trả lời