Đề: Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí \(A\)  trên mặt biển cách bờ biển một khoảng \(AB = 5km\) . Trên bờ biển có một cái kho ở cách \(B\) \(7\) km. Người canh hải đăng có thể chèo đò đến điểm \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(4km/h\)  rồi đi bộ đến \(C\)  với vận tốc \(6km/h\) . Vị trí của điểm \(M\)  cách \(B\) một khoảng bằng bao nhiêu để người đó đi đến kho \(C\)  ít tốn thời gian nhất.

Đặt \(BM = x\), ta có \(AM = \sqrt {{x^2} + 25} ,BC = 7 – x\)

Thời gian để người canh hải đăng đi từ A đến C là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 – x}}{6}\)

Xét hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 – x}}{6},(0 \le x \le 7)\)

\(f'(x) = \frac{x}{{4\sqrt {{x^2} + 25} }} – \frac{1}{6} = \frac{{3x – 2\sqrt {{x^2} + 25} }}{{12\sqrt {{x^2} + 25} }}\)

\(\begin{array}{l}f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x – 2\sqrt {{x^2} + 25}  = 0\\ \Leftrightarrow 9{x^2} = 4({x^2} + 25)\\ \Leftrightarrow 5{x^2} = 100 \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \end{array}\)

\(f(0) = \frac{{29}}{{12}},f(2\sqrt 5 ) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}},f(7) = \frac{{\sqrt {74} }}{4}\)

\(\mathop {\min }\limits_{x \in {\rm{[}}0;7]}  = f(2\sqrt 5 ) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}}\)