Đề: Một đại lý xăng dầu cần làm một bồn chứa dầu hình trục có đáy và nắp đậy bằng tôn với thể tích \(16\pi \left( {{m^3}} \right)\). Biết rằng giá thành (cả vật liệu và tiền công) được tính theo mét vuông, tìm đường kính đáy của bồn để đại lý phải trả ít chi phí nhất.

Ta có: \({V_T} = \pi {R^2}h = 16\pi  \Rightarrow {R^2}h = 16\)

Lại có diện tíc vật liệu làm bồn chứa dầu là \(S = {S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi \left( {{R^2} + \frac{{16}}{R}} \right)\)

Xét hàm số \(f(R) = {R^2} + \frac{{16}}{R},R > 0\)

\(\begin{array}{l}f'(R) = 2R – \frac{{16}}{{{R^2}}}\\f'(R) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{R^3} – 16}}{{{R^2}}} = 0 \Leftrightarrow R = 2.\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số f(R) đạt giá trị lớn nhất tại R=2.

Suy ra diện tích toàn phần nhỏ nhất bồn chứa là: \({S_{\min }} = 24\pi \) khi R=2.