Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.

• M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M, \forall x\in D\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
• m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu:  \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \exists x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).

2. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

• Định lý:  Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
•  Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)
  • Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
  • Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
  • Khi đó : $\mathop {\max }\limits_{x \in [a,b]} {f(a);f(b);f(x_i)}$ ; $\mathop {\min }\limits_{x \in [a,b]} {f(a);f(b);f(x_i)}$

Trả lời câu hỏi trong bài học SGK

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 20: Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x² trên đoạn [-3; 0];

b) y = (x + 1)/(x – 1) trên đoạn [3; 5].

Lời giải:

a) y’ = 2x ≤ 0 trên đoạn [-3; 0]. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [-3,0].

Khi đó trên đoạn [-3,0]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = -3 và giá trị lớn nhất bằng 9, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 và giá trị nhỏ nhất = 0.

b) y’ = (-2)/(x-1)² < 0 trên đoạn [3; 5]. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [3; 5].

Khi đó trên đoạn [-3,5]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3 và giá trị lớn nhất bằng 2, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 5 và giá trị nhỏ nhất = 1.5.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 21:

Cho hàm số

Có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] và nêu cách tính.

Lời giải:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -2. Thay x = -2 vào hàm số y đã cho ta có giá trị nhỏ nhất là -2.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3. Thay x = 3 vào hàm số y đã cho ta có giá trị lớn nhất là 3.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 23: Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) = (-1)/(1 + x² ).

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định.

Lời giải:

1.TXĐ: D = R.

2. y’ = 2x/(1 + x²)² . Cho y’ = 0 thì x = 0.

3. Bảng biến thiên:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là – 1 tại x = 0.