Tại một nhà máy, khi sản xuất và bán ra $x$ sản phẩm A $\left( 0\le x\le 250 \right)$ trong một tháng thì tổng chi phí mà nhà máy phải trả là $C\left( x \right)=0,00024{{x}^{3}}-0,03{{x}^{2}}+5x+30$ (triệu đồng) và doanh thu tương ứng là $D\left( x \right)=-0,01{{x}^{2}}+16x-25$ (triệu đồng)

Tại một nhà máy, khi sản xuất và bán ra $x$ sản phẩm A $\left( 0\le x\le 250 \right)$ trong một tháng thì tổng chi phí mà nhà máy phải trả là $C\left( x \right)=0,00024{{x}^{3}}-0,03{{x}^{2}}+5x+30$ (triệu đồng) và doanh thu tương ứng là $D\left( x \right)=-0,01{{x}^{2}}+16x-25$ (triệu đồng). Hỏi trong một tháng, lợi nhuận lớn nhất mà nhà máy đó có thể thu được nhờ vào sản xuất và bán sản phẩm A bằng bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải

Đáp án: 1237.

Lợi nhuận trong một tháng của doanh nghiệp khi sản xuất và bán ra $x$ sản phẩm A là

$\begin{align}

& R\left( x \right)=D\left( x \right)-C\left( x \right) \\

& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( -0,01{{x}^{2}}+16x-25 \right)-\left( 0,00024{{x}^{3}}-0,03{{x}^{2}}+5x+30 \right) \\

& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-0,00024{{x}^{3}}+0,02{{x}^{2}}+11x-55 \\

\end{align}$

Xét hàm số $R\left( x \right)=-0,00024{{x}^{3}}+0,02{{x}^{2}}+11x-55$ với $x\in \left[ 0;250 \right]$, ta có

${R}’\left( x \right)=-0,00072{{x}^{2}}+0,04x+11$;

${R}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow -0,00072{{x}^{2}}+0,04x+11=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& x=\frac{100\sqrt{130}+250}{9} \\

& x=\frac{-100\sqrt{130}+250}{9} \\

\end{align} \right.$

Với $x\in \left[ 0;250 \right]$ ta được $x=\frac{100\sqrt{130}+250}{9}=154,463…$

Hàm $R\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;250 \right]$ và ta có

$R\left( 0 \right)=-55$; $R\left( \frac{100\sqrt{130}+250}{9} \right)=1236,796…\approx 1237\approx R\left( 154 \right)\approx R\left( 155 \right)$; $R\left( 250 \right)=195$.

Suy ra lợi nhuận lớn nhất mà nhà máy thu được vào khoảng $1237$(triệu đồng) khi $x=154$ hoặc $x=155$.