Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = {x^4} – 2m{x^2} + 2m + {m^4}\). Với giá trị nào của m thì đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
- A. \(m = \sqrt[5]{{16}}\)
- B. \(m = 16\)
- C. \(m = \sqrt[3]{{16}}\)
- D. \(m = – \sqrt[3]{{16}}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
\(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4mx\\ y’ = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} – m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y’=0\) phải có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi đó đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị \(A\left( {0;2m + {m^4}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right);C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\) với B và C đối xứng nhau qua Oy, hay đường thẳng BC song song hoặc trùng với trục hoành (y=0).
Suy ra: phương trình đường thẳng BC có dạng: y+a=0
Ta có: \({y_B} = {y_C} = f\left( {\sqrt m } \right) = f\left( { – \sqrt m } \right)\)
\(= {m^2} – 2{m^2} + 2m + {m^4} = {m^4} – {m^2} + 2m\)
Suy ra phương trình BC là: \(y – ({m^4} + {m^2} + 2m) = 0\)
Khi đó:
\(d\left( {A;BC} \right) = \left| {2m + {m^4} – \left( {{m^4} + 2m – {m^2}} \right)} \right| = \left| {{m^2}} \right| = {m^2}\)
Như vậy rõ ràng
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.d\left( {A;BC} \right).BC\)
\(= \frac{1}{2}.{m^2}.2\sqrt m = 4 \Rightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\)
======
Các bạn xem lại Lý thuyết cực trị hàm số.
Trả lời