Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = {x^4} – 2m{x^2} + 2m + {m^4}\). Với giá trị nào của m thì đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
- A. \(m = \sqrt[5]{{16}}\)
- B. \(m = 16\)
- C. \(m = \sqrt[3]{{16}}\)
- D. \(m = – \sqrt[3]{{16}}\)
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
\(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4mx\\ y’ = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} – m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y’=0\) phải có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi đó đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị \(A\left( {0;2m + {m^4}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right);C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\) với B và C đối xứng nhau qua Oy, hay đường thẳng BC song song hoặc trùng với trục hoành (y=0).
Suy ra: phương trình đường thẳng BC có dạng: y+a=0
Ta có: \({y_B} = {y_C} = f\left( {\sqrt m } \right) = f\left( { – \sqrt m } \right)\)
\(= {m^2} – 2{m^2} + 2m + {m^4} = {m^4} – {m^2} + 2m\)
Suy ra phương trình BC là: \(y – ({m^4} + {m^2} + 2m) = 0\)
Khi đó:
\(d\left( {A;BC} \right) = \left| {2m + {m^4} – \left( {{m^4} + 2m – {m^2}} \right)} \right| = \left| {{m^2}} \right| = {m^2}\)
Như vậy rõ ràng
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.d\left( {A;BC} \right).BC\)
\(= \frac{1}{2}.{m^2}.2\sqrt m = 4 \Rightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\)
======
Các bạn xem lại Lý thuyết cực trị hàm số.
Trả lời