Đề: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {2m – 1} \right)x – 1\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

Vì đây là bài toán xét tính đúng sai của mệnh đề nên ta cần đi xem xét từng mệnh đề một. Vì đây là bài toán về cực trị nên trước tiên ta đi tìm đạo hàm của hàm số sau đó xét phương trình y’=0 để tìm kết luận cho bài toán.

\(y’ = {x^2} + 2mx + 2m – 1\).

Xét phương trình y’=0, ta cùng nhớ lại bảng các dạng đồ thị của hàm số bậc ba ở trang 35 sách giáo khoa cơ bản. Nhận thấy ở tất cả các mệnh đề đều nói là hàm số có cực trị, nghĩa là trước tiên ta cần đi tìm điều kiện để hàm số có cực trị là điều kiện chung. Để đồ thị hàm số bậc ba có cực trị thì phương trình y’=0 phải có hai nghiệm phân biệt. Khi đó: \(\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\). Từ đây ta thấy mệnh đề  C đúng, cả A và D cũng đúng. Vậy mệnh đề sai là B.