Đề bài: Từ một điểm $S$ ngoài mặt phẳng $(P)$ ta kẻ đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và nối $S$ với hai điểm phân biệt $B,C$ thuộc mặt phẳng $(P)$.Các đường thẳng $SB,SC$ tạo với mặt phẳng $(P)$ các góc $45^0$ và tạo với nhau góc $60^0$$a.$ Chứng minh hai mặt phẳng $(SAB),(SAC)$ vuông góc với nhau$b.$ Tính góc giữa các mặt phẳng $(SBC),(P)$

Lời giải

$a.$ Từ $SA\bot (P)$ nên $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=45^0  $
$\widehat{BSC}=60^0 $
Ta có $BS=CS=AS\sqrt{2} $
Áp dụng định lí cosin vào $\Delta BSC$
$BC^2=SB^2+SC^2-2SB.SC.\cos60^0$
$\Rightarrow  BC=AS\sqrt{2} $
Mặt khác áp dụng định lí cosin vào $\Delta ABC$ ta có :
$BC^2=AB^2+AC^2-2AC.AB\cos\widehat{BAC} $
Với $AB=AC=AS$ và $BC=AS\sqrt{2} $ ta tính ra :
$\cos\widehat{BAC} =0\Rightarrow  \widehat{BAC} =90^0        (1)$
$SA\bot (P)\Rightarrow  BA\bot SA$ và $CA\bot SA                  (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SAC)$ bằng $90^0$ vậy $(SAB)\bot (SAC)$
$b.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$Ta có : $SM\bot BC$ và $AM\bot BC$
Ta lại có : $AM=\frac{1}{2} AC\sqrt{2}\Rightarrow   AM=\frac{AS\sqrt{2} }{2}       (3) $
Trong tam giác vuông $SAM$ thì :
$\tan\widehat{SMA}=\frac{SA}{MA}  \Rightarrow  \tan\widehat{SMA} =\sqrt{2}\approx  1,4142 $
$\Rightarrow  \widehat{SMA}\approx  54^0.42′        (4)$
Từ $(3),(4)$ suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(P)$ là $54^0.42’$