Lời giải
$a.$ Từ $SA\bot (P)$ nên $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=45^0 $
$\widehat{BSC}=60^0 $
Ta có $BS=CS=AS\sqrt{2} $
Áp dụng định lí cosin vào $\Delta BSC$
$BC^2=SB^2+SC^2-2SB.SC.\cos60^0$
$\Rightarrow BC=AS\sqrt{2} $
Mặt khác áp dụng định lí cosin vào $\Delta ABC$ ta có :
$BC^2=AB^2+AC^2-2AC.AB\cos\widehat{BAC} $
Với $AB=AC=AS$ và $BC=AS\sqrt{2} $ ta tính ra :
$\cos\widehat{BAC} =0\Rightarrow \widehat{BAC} =90^0 (1)$
$SA\bot (P)\Rightarrow BA\bot SA$ và $CA\bot SA (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SAC)$ bằng $90^0$ vậy $(SAB)\bot (SAC)$
$b.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$Ta có : $SM\bot BC$ và $AM\bot BC$
Ta lại có : $AM=\frac{1}{2} AC\sqrt{2}\Rightarrow AM=\frac{AS\sqrt{2} }{2} (3) $
Trong tam giác vuông $SAM$ thì :
$\tan\widehat{SMA}=\frac{SA}{MA} \Rightarrow \tan\widehat{SMA} =\sqrt{2}\approx 1,4142 $
$\Rightarrow \widehat{SMA}\approx 54^0.42′ (4)$
Từ $(3),(4)$ suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(P)$ là $54^0.42’$
Trả lời