Lời giải
Ta thấy ngay $\widehat{SCA}=\alpha, SA=a\sin \alpha, AC=a\cos \alpha$.
Suy ra: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\frac{a^2\cos^2 \alpha}{2}.a\sin \alpha=\frac{a^3}{6}\cos^2 \alpha \sin \alpha (1)$
Từ $(1)$ suy ra: $V_{S.ABC}$ nhận giá trị lớn nhất khi và chỉ khi biểu thức $P=\cos^2 \alpha \sin \alpha $ nhận giá trị lớn nhất
Vì $\sin \alpha >0\Rightarrow P_{\max}\Leftrightarrow P^2_{\max}\Leftrightarrow (1-\sin^2 \alpha)^2\sin^2 \alpha $ nhận giá trị lớn nhất.
Ta có: $(1-\sin^2 \alpha)^2\sin^2 \alpha=\frac{(1-\sin^2 \alpha)(1-\sin^2 \alpha)(2\sin^2 \alpha)}{2}$.
Theo bất đẳng thức Côsi thì :
$(1-\sin^2 \alpha)(1-\sin^2 \alpha)(2\sin^2 \alpha)\leq [\frac{(1-\sin^2 \alpha)+(1-\sin^2 \alpha)+(2\sin^2 \alpha)}{3}]=\frac{8}{27}$
Từ đó $P_{\max}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow 1-\sin^2 \alpha=2\sin^2 \alpha\Leftrightarrow \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $V_{S.ABC} $ nhận giá trị lớn nhất bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{27}\Leftrightarrow \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Trả lời