Đề bài:    Giải hệ phương trình: \(\begin{cases}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5 \\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=9 \end{cases}\)

Lời giải

Giải
  \(\begin{cases}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5 \\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=9 \end{cases}     (I)\)
Điều kiện:\(x\neq 0, y\neq 0\)
   * Đặt : \(X=x+\frac{1}{x} (|x|\geq 2); Y=y+\frac{1}{y} (|y|\geq 2)\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x^2+\frac{1}{x^2}=X^2-2\\ y^2+\frac{1}{y^2}=Y^2-2 \end{array} \right.\)
      Từ \((I)\) suy ra: \((I’) \begin{cases}X+Y=5 \\ X^2+Y^2=13 \end{cases}\)
   * Đặt \(X+Y=S; XY=P\). Từ \((I’)\) suy ra: \(II) \begin{cases}S=5 \\ S^2-2P=13 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}S=5 \\ P=6 \end{cases}\)
   * Ta lần lượt có: \((I’) \Leftrightarrow \begin{cases}X+Y=5 \\ XY=6 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}X=2 \\ Y=3 \end{cases}\\\begin{cases}X=3 \\ Y=2 \end{cases}\end{array} \right.\)
\(I)\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x+\frac{1}{x}=2 \\ y+\frac{1}{y}=3 \end{cases}\\\begin{cases}x+\frac{1}{x}=3 \\ y+\frac{1}{y}=2 \end{cases}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x^2-2x+1=0 \\ y^2-3y+1=0 \end{cases}\\\begin{cases}x^2-3x+1=0 \\ y^2-2y+1=0 \end{cases}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{array}{l}x = 1\\y = \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\end{array}\\\begin{array}{l}x = \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\\y = 1\end{array}\end{array} \right.. \)
Tóm lại, hệ \((I)\) có \(4\) nghiệm phân biệt là:
    \((x;y)=(1;\frac{3-\sqrt{5}}{2}), (1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}), (\frac{3-\sqrt{5}}{2};1), (\frac{3+\sqrt{5}}{2};1)\)

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng