Đề bài: Cho $x,y,z$  là nghiệm của hệ:  $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=5\\ xy+yz+xz=8 \end{array} \right.                      (I) $Chứng minh $1 \leq x;y;z \leq \frac{7}{3}$

Lời giải

Viết lại $(I) \Leftrightarrow (II) \left\{ \begin{array}{l} x+y=5-z\\ xy=8-(5-z)z \end{array} \right. $ 
Hệ $(II)$ có nghiệm khi và chỉ khi $(5-z)^2 \geq 4[8-(5-z)z] \Leftrightarrow 3z^2-10z+7 \leq 0 \Leftrightarrow1 \leq z \leq \frac{7}{3} $
Viết lại $(I)\Leftrightarrow (III)\begin{cases}y+z=5-x \\ yz=8-(5-x)x \end{cases}$
Hệ $(III)$ có nghiệm khi và chỉ khi 
$(5-x)^2 \geq 4[8-(5-x)x] \Leftrightarrow 3x^2-10x+7 \leq 0 \Leftrightarrow1 \leq x \leq \frac{7}{3} $ 
Viết lại $(I)\Leftrightarrow (IV)\begin{cases}x+z=5-y \\ xz=8-(5-y)y \end{cases}$ 
Hệ $(IV)$ có nghiệm khi và chỉ khi  $(5-y)^2 \geq 4[8-(5-y)y] \Leftrightarrow 3y^2-10y+7 \leq 0 \Leftrightarrow1 \leq y \leq \frac{7}{3} $
$\Rightarrow $ĐPCM
  
    

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng