Lời giải
Xét hệ tọa độ $Bxyz$ gốc $B$.
Trong hệ trục tọa độ này ta có:
$B=(0;0;0); A=(0;a;0); C=(2a;0;0)$
(do $AC^2=A’C’^2-CC’^2=9a^2-4a^2=5a^2\Rightarrow BC=2a$).
Do $A’M=\frac{1}{2}AC\Rightarrow IH=\frac{2}{3}AA’=\frac{4a}{3}$.
Kẻ $HN//BC$ và $HP//AB$.
$\Rightarrow HN= \frac{1}{3}BC=\frac{2a}{3}; HP=\frac{2}{3}AB=\frac{2a}{3}$
$\Rightarrow I=( \frac{2a}{3};\frac{2a}{3};\frac{4a}{3})$
ta có : $\overrightarrow{IA}=( -\frac{2a}{3};\frac{a}{3};\frac{-4a}{3});\overrightarrow{IB}=( -\frac{2a}{3};-\frac{2a}{3};-\frac{4a}{3});\overrightarrow{IC}=( \frac{4a}{3};-\frac{2a}{3};-\frac{4a}{3})$
Từ đó:
$[\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\frac{a}{3}}}&{{-\frac{4a}{3}}}\\
{{-\frac{2a}{3}}}&{{-\frac{4a}{3}}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-\frac{4a}{3}}}&{{-\frac{2a}{3}}}\\
{{-\frac{4a}{3}}}&{{-\frac{2a}{3}}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-\frac{2a}{3}}}&{{\frac{a}{3}}}\\
{{-\frac{2a}{3}}}&{{-\frac{2a}{3}}}
\end{array}} \right|)=(-\frac{4a^2}{3};0;\frac{2a^2}{3})$.
Vậy $V_{IABC}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB}].\overrightarrow{IC}|=\frac{1}{6}|-\frac{16a^3}{9}-\frac{8a^3}{9}|=\frac{4a^3}{9}$ (đvtt).
Trả lời