Đề bài: Cho hình chữ nhật $ABCD$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và một điểm $S$ không thuộc $(P)$.Biết rằng $SA=SB=SC=SD$.Trên cạnh $AB$ có một điểm $M$ và trên cạnh $BC$ có một điểm $N$ sao cho $AM=CN$$a.$ Chứng $(SMN)\bot (ABCD)$$a.$ Với vị trí nào của $M,N$ thì $(SMN)\bot (SBC)$

Lời giải

$a.$ Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo, $AC,BD$ của hình chữ nhật $ABCD$ thì $O$ cũng là trung điểm của $AC,BD$
$\Delta SAC$ cân, đỉnh $S$ nên $SO\bot AC            (1)$
$\Delta SBD$ cân, đỉnh $S$ nên $SO\bot BD             (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $SO\bot (ABCD)$.Xét hai tam giác $AOM,CON$ có $\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$(so le trong )
$OA=OC$ và $AM=CN$ nên chúng bằng nhau cho ta :
$\widehat{MOA}=\widehat{NOC}  $
Mặt khác ta có $\widehat{CON}+\widehat{NOA}  =180^0$
Suy ra $\widehat{NOA} +\widehat{AOM}=180^0\Rightarrow  \widehat{NOM}=180^0  $.Vậy ba điểm $M,O,N$ thẳng hàng, hay đường thẳng $MN$ đi qua điểm $O$ thức là mặt phẳng $(AMN)$ chứa đường thẳng $SO$.Ta có :
Theo chứng minh trên thì $\left.\begin{matrix} (SMN)\supset  SO\\ SO\bot (ABCD)\end{matrix}\right\} \Rightarrow  (SMN)\bot (ABCD)$
$b.$ Khi $(SMN)\bot (SBC)$ ta có :
$\left.\begin{matrix}(SMN)\bot (SBC) \\(SMN)\bot (ABCD)\\(SBC)\cap (ACD)=BC \end{matrix}\right\} \Rightarrow  BC\bot (SMN)$
Từ $BC\bot (SMN)$ và $MN\subset  (SMN)$ ta suy ra : $BC\bot MN$
Điều này chứng tỏ $N$ là trung điểm của $BC$ do đó $M$ phải là trung điểm của $AD$