Lời giải
Ta có thể tích $V_{A.BMNC}=V_{S.ABC}-V_{S.AMN} (1)$
Theo bài toán cơ bản thì $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}$
Vì $AB=AC\Rightarrow SB=SC$.
Ta có $SA^2=SM.SB=SN.SC\Rightarrow SM=SN$.
Vậy $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM^2}{SB^2} (2)$
Ta có $SA^2=SM.SB\Rightarrow SM=\frac{SA^2}{SB}$
Vậy từ $(2)$ có $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABN}}=\frac{SA^4}{SB^4}=(\frac{SA^2}{SB^2})^2$
$=(\frac{4a^2}{4a^2+a^2})^2=\frac{16}{25}\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{16}{25}V_{S.ABC} (3)$
Từ $(1),(3)$ ta có: $V_{A.BNMC}=\frac{9}{25}V_{S.ABC}=\frac{9}{25}.\frac{1}{3}.\frac{A^2\sqrt{3}}{4}.2a=\frac{3a^3\sqrt{3}}{50}$ (đvtt).
Trả lời