Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA=a \sqrt{ 2} $  và vuông góc với đáya) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuôngb) Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SC$. Dựng thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ và mặt phẳng $(P)$. Tính diện tích thiết diện

a) Ta có $SA \bot (ABCD)$
Suy ra $SA \bot AB, SA \bot AD$
Vậy các tam giác $SAB , SAD$ vuông tại $A$
Lại có $AB \bot BC$
Theo định lí ba đường vuông góc $SB \bot BC$
Vậy tam giác $SBC$ vuông tại $B$
Tương tự $AD \bot CD$
Theo định lí ba đường vuông góc $SD \bot CD$
Vậy tam giác $SCD$ vuông tại $D$
b) Ta có: $AC=SA=a \sqrt{ 2} $
Suy ra tam giác $SAC$ vuông cân tạo $A$
Gọi $I$ là trung điểm $SC$. Ta có $AI \bot SC$
Mặt khác $BD \bot AC, BD \bot SA$. Suy ra $BD \bot (SAC)$
Do $(P) \bot SC$ nên $(P) //BD$. Suy ra mặt phẳng $(P)$ cắt mặt phẳng $(SBD)$ theo giao tuyến là đường thẳng song song với $BD$
Gọi $O$ là giao điểm ucar $AC$ và $BD$
Ta có $J$ là trọng tâm của các tam giác $SAC$ và $SBD$
Qua $J$ vẽ đường thẳng song song song với $BD$ cắt $SB$ tại $M$, $SD$ tại $N$. Thiết diện là tứ giác $AMIN$
Ta có $MN//BD$ nên $MN \bot AI$
Do đó $S_{AMIN}=\frac{1}{2}AI.MN $
Trong đó :
          $SC=SA \sqrt{2 }=2a $
          $AI=\frac{1}{2}SC=a $
          $\frac{MN}{BD}=\frac{SJ}{SO}=\frac{2}{3} \Rightarrow  MN=\frac{2}{3}BD=\frac{2a\sqrt{ 2} }{3}     $
Vậy  $S_{AMIN}=\frac{1}{2}a\frac{2a\sqrt{ 2} }{3}     =\frac{a^2 \sqrt{2 } }{3} $