Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$,đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB=a$.Gọi $M$ là trung điểm của $AC$$a.$ Hãy dựng đoạn vuông góc chung của $SM,BC$$b.$ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của $SM,BC$

Lời giải

$a.$ Để dựng đoạn vuông góc chung của $SM,BC$ ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:
Cách $1:$ Gọi $N$ là trung điểm $AB$ suy ra :
$BC//MN\Rightarrow  BC//(SMN)$
Ta có :
$\begin{cases}MN\bot AB\\MN\bot SA \end{cases} \Rightarrow  MN\bot (SAB)\Rightarrow  (SMN)\bot (SAB)$ và $(SMN)\cap (SAB)=SN$
Hạ $BH\bot SN$ suy ra $BH\bot (SMN)$
Từ  $H$ dựng $Hx$ song song với $BC$ và cắt $SM$ tại $E$
Từ $E$ dựng  $Ey$song song với $BH$ và cắt $BC$ tại $F$
Đoạn $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SM,BC$
Cách $2:$ Nhận xét rằng :
$\begin{cases}BC\bot AB\\BC\bot SA \end{cases} \Rightarrow  BC\bot (SAB)$
Do đó $(SAB)$ chính là mặt phẳng qua $B$ thuộc $BC$ và vuông góc với $BC$
Gọi $N$ là trung điểm $AB$ suy ra:
$MN//BC\Rightarrow  MN\bot (SAB)$
suy ra $SN$ là hình chiếu vuông góc của $SM$ trên $(SAB)$
Hạ $BH\bot SN$ suy ra $BH\bot (SMN)$
Từ $H$ dựng $Hx$ song song với $BC$ và cắt $SM$ tại $E$
Từ $E$ dựng $Ey$ song song với $BH$ và cắt $BC$ tại $F$
Đoạn $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SM,BC$
$b.$ Nhận xét rằng $\Delta SAN,\Delta BHN$ la hai tam giác vuông có hai góc nhọn đối đỉnh nên chúng đồng dạng suy ra :
$\frac{BH}{SA} =\frac{BN}{SN}\Rightarrow  BH=\frac{SA.BN}{SN}  $
trong đó :
$BN=\frac{1}{2} AB=\frac{a}{2} $
$SN^2=SA^2+AN^2=(2a)^2+(\frac{a}{2} )^2=\frac{17a^2}{4} \Rightarrow  SN=\frac{a\sqrt{17} }{2} $
suy ra :
$BH=\frac{2a.\frac{a}{2} }{\frac{a\sqrt{17} }{2} } =\frac{2a\sqrt{17} }{17} $