Lời giải
$a.$ Ta có : $\overrightarrow {OC’}=\overrightarrow {OA} +\overrightarrow {OB} $
$\Rightarrow \overrightarrow {OA} +\overrightarrow {AC’}=\overrightarrow {OA}
+\overrightarrow {OB} $
$\Rightarrow \overrightarrow {AC’}=\overrightarrow {OB} $
Tương tự $\overrightarrow {AB’}=\overrightarrow {OC} $
$\overrightarrow {AS}=\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC} $
Vậy $\overrightarrow {AS}=\overrightarrow {AB’}+\overrightarrow {AC’} $
Ba véctơ $\overrightarrow {AS},\overrightarrow {AB’},\overrightarrow {AC’} $ đồng phẳng.Vậy
bốn điểm $A,S,B’,C’$ đồng phẳng
Các trường hợp khác lí luận tương tự
$b.$ Ta có $\overrightarrow {OB}//(OA’BC) $
$\overrightarrow {OC}//(OA’BC) $
$\overrightarrow {AC’}//(AC’SB) $
$\overrightarrow {AB’}//(AC’SB) $
mà $\overrightarrow {OB} =\overrightarrow {AC’} $ và $\overrightarrow {OC}=\overrightarrow
{AB’} $ suy ra
$(OBA’C)//(AC’SB’)$
Các trường hợp khác, chứng minh tương tự
$c.$ Ta có :
$\overrightarrow {AS}=\overrightarrow {OB} +\overrightarrow {OC} $
$\Rightarrow \overrightarrow {AS}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AB}
+\overrightarrow {OA} +\overrightarrow {AC} $
$\Rightarrow \overrightarrow {AS}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow
{AC}+2\overrightarrow {OA} $
$\Rightarrow \overrightarrow {AS}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow
{AC}-2\overrightarrow {AO} $
$d.$ Ta có $\overrightarrow {OG}=k\overrightarrow {OS}\Rightarrow \overrightarrow
{OG}=k(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC} ) $
$\overrightarrow {OG}=k(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AB}
+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AC} ) $
$\Rightarrow \overrightarrow {OG}=3k.\overrightarrow {OA}+k.\overrightarrow {AB}
+k.\overrightarrow {AC} $
$G$ là giao điểm của $SO$ với $mp(ABC)$ bốn điểm $G,A,B,C$ cùng thuộc $mp(ABC)$ hay là ba
véctơ $=\overrightarrow {AG},\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $ đồng phẳng, do đó
véctơ $\overrightarrow {AG} $ được biểu diễn qua hai véctơ $\overrightarrow {AB}
,\overrightarrow {AC} $ như vậy ta có
$(3k-1)\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {0} $
$\Rightarrow 3k-1=0\Rightarrow k=\frac{1}{3} $
Từ đây ta có :
$\overrightarrow {OG}=\frac{1}{3} (\overrightarrow {OA}+\overrightarrow
{OB}+\overrightarrow {OC} )$
Đẳng thức này chứng tỏ $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
$e.$ Ta có
$\overrightarrow {OA’}=\overrightarrow {OB} +\overrightarrow {OC} $
$\overrightarrow {OB’}=\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OA} $
$\Rightarrow \overrightarrow {OA’}-\overrightarrow {OB’}=\overrightarrow {OB}
-\overrightarrow {OA} $
$\Leftrightarrow \overrightarrow {A’B’}=-\overrightarrow {AB} \Rightarrow A’B’//AB (1) $
Tương tự ta có $\overrightarrow {A’C’}=-\overrightarrow {AC}\Rightarrow A’C’//AC (2) $
Từ $(1),(2)$ suy ra $(ABC)//(A’B’C’)$
Trả lời