Đề bài: Cho bốn điểm $O,A,B,C$ không đồng phẳng và bốn điểm $A',B',C',S$ được xác định bởi các hệ thức :$\overrightarrow {OA'}=\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}   $$\overrightarrow {OB'}=\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OA}   $$\overrightarrow {OC'}=\overrightarrow {OA}  +\overrightarrow {OB} $$\overrightarrow {OS}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}   +\overrightarrow {OC} $$a.$ Chứng minh các điểm sau đây đồng phẳng- Bốn điểm $A,C',S,B'$- Bốn điểm $C,B',S,A'$- Bốn điểm $B,C',S,A'$$b.$ Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng $(OBA'C), (AC'SB')$$(OAC'B), (CB'SA')$$(OAB'C), (BC'SA')$$c.$ Chứng minh hệ thức$\overrightarrow {AS}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}-2\overrightarrow {AO}   $$d.$ Gọi $G$ là giao điểm của $SO$ với $mp(ABC)$.Đặt $\overrightarrow {OG}=k.\overrightarrow {OS}  $.Biểu diễn véctơ $\overrightarrow {OG} $ theo các véctơ $\overrightarrow {OA},\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC},k   $.Chứng tỏ $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$$e.$ Chứng minh hai mặt phẳng $(ABC),(A'B'C')$ song song

Lời giải

$a.$ Ta có : $\overrightarrow {OC’}=\overrightarrow {OA}  +\overrightarrow {OB} $
$\Rightarrow  \overrightarrow {OA} +\overrightarrow {AC’}=\overrightarrow {OA} 

+\overrightarrow {OB} $
$\Rightarrow  \overrightarrow {AC’}=\overrightarrow {OB}  $
Tương tự $\overrightarrow {AB’}=\overrightarrow {OC}  $
$\overrightarrow {AS}=\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}   $
Vậy $\overrightarrow {AS}=\overrightarrow {AB’}+\overrightarrow {AC’}   $
Ba véctơ $\overrightarrow {AS},\overrightarrow {AB’},\overrightarrow {AC’}   $ đồng phẳng.Vậy

bốn điểm $A,S,B’,C’$ đồng phẳng
Các trường hợp khác lí luận tương tự
$b.$ Ta có $\overrightarrow {OB}//(OA’BC) $
$\overrightarrow {OC}//(OA’BC) $
$\overrightarrow {AC’}//(AC’SB) $
$\overrightarrow {AB’}//(AC’SB) $
mà $\overrightarrow {OB} =\overrightarrow {AC’}  $ và $\overrightarrow {OC}=\overrightarrow

{AB’}  $ suy ra
$(OBA’C)//(AC’SB’)$
Các trường hợp khác, chứng minh tương tự
$c.$ Ta có :
$\overrightarrow {AS}=\overrightarrow {OB} +\overrightarrow {OC}  $
$\Rightarrow  \overrightarrow {AS}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AB}

+\overrightarrow {OA}   +\overrightarrow {AC} $
$\Rightarrow  \overrightarrow {AS}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow

{AC}+2\overrightarrow {OA}   $
$\Rightarrow  \overrightarrow {AS}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow

{AC}-2\overrightarrow {AO}   $
$d.$ Ta có $\overrightarrow {OG}=k\overrightarrow {OS}\Rightarrow  \overrightarrow

{OG}=k(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}   )   $
$\overrightarrow {OG}=k(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AB}

+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AC}    ) $
$\Rightarrow  \overrightarrow {OG}=3k.\overrightarrow {OA}+k.\overrightarrow {AB}

+k.\overrightarrow {AC}   $
$G$ là giao điểm của $SO$ với $mp(ABC)$ bốn điểm $G,A,B,C$ cùng thuộc $mp(ABC)$ hay là ba

véctơ $=\overrightarrow {AG},\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  $ đồng phẳng, do đó

véctơ $\overrightarrow {AG} $ được biểu diễn qua hai véctơ $\overrightarrow {AB}

,\overrightarrow {AC} $ như vậy ta có
$(3k-1)\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {0}  $
$\Rightarrow  3k-1=0\Rightarrow  k=\frac{1}{3} $
Từ đây ta có :
$\overrightarrow {OG}=\frac{1}{3}  (\overrightarrow {OA}+\overrightarrow

{OB}+\overrightarrow {OC}   )$
Đẳng thức này chứng tỏ $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
$e.$ Ta có
$\overrightarrow {OA’}=\overrightarrow {OB}  +\overrightarrow {OC} $
$\overrightarrow {OB’}=\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OA}   $
$\Rightarrow  \overrightarrow {OA’}-\overrightarrow {OB’}=\overrightarrow {OB}  

-\overrightarrow {OA} $
$\Leftrightarrow  \overrightarrow {A’B’}=-\overrightarrow {AB} \Rightarrow  A’B’//AB       (1) $
Tương tự ta có $\overrightarrow {A’C’}=-\overrightarrow {AC}\Rightarrow  A’C’//AC        (2)  $
Từ $(1),(2)$ suy  ra $(ABC)//(A’B’C’)$