(Đại học Hồng Đức – 2022) Cho \(f(x) = {x^3} – 3{x^2} + 1\). Phương trình \(\sqrt {f(f(x) + 1) + 1} = f(x) + 2\) có số nghiệm thực là

A. 7.

B.6.

C. 4.

D. 9.

Lời giải:.

Đặt \(t = f(x) + 1 \Rightarrow t = {x^3} – 3{x^2} + 2\quad (*)\)

Suy ra \(t\prime = 3{x^2} – 6x\). Khi đó \(t\prime = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\). Ta có, bảng biến thiên

Khi đó \(\sqrt {f(f(x) + 1) + 1} = f(x) + 2\) trở thành:

\(\sqrt {f(t) + 1} = t + 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}t \ge – 1\\f(t) + 1 = {t^2} + 2t + 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}t \ge – 1\\{t^3} – 4{t^2} – 2t + 1 = 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)\(\)

Từ bảng biến thiên ta có

+) Với \(t = a \in ( – 1;0)\), phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.

+) Với \(t = b \in (0;1)\), phương trình (*) có 3 nghiệm phần biệt khác 3 nghiệm trên.

+) Với \(t = c \in (4;5)\), phương trình (*) có 1 nghiệm khác 6 nghiệm trên.

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm.