ĐỀ BÀI:
Có một mảnh bìa hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB = 4a,AD = 2a.\) Người ta đánh dấu M là trung điểm của AB, N và P là các điểm thuộc CD sao cho \(DN = CP = a\). Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh \(BC\) trùng với cạnh \(AD\) tạo thành một hình trụ. Thể tích của tứ diện\(AMNP\)với các đỉnh \(A,M,N,P\) nằm trên hình trụ vừa tạo thành bằng
A. \(\frac{{4{a^3}}}{{3{\pi ^2}}}\).
B. \(\frac{{8{a^3}}}{{3{\pi ^2}}}\).
C. \(\frac{{16{a^3}}}{{3{\pi ^2}}}\).
D. \(\frac{{32{a^3}}}{{3{\pi ^2}}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mảnh bìa được cuốn lại thành hình trụ như hình vẽ với \(A \equiv B,D \equiv C.\)
Do \(O,O’\)lần lượt là trung điểm các cạnh\(AM,NP\) nên \(OO’ \bot AM\) và \(OO’ \bot PN\)
Từ đó ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}PN \bot AM\\PN \bot OO’\end{array} \right. \Rightarrow PN \bot \left( {AMO’} \right)\) hay \(PO’ \bot \left( {AMO’} \right),\,\,NO’ \bot \left( {AMO’} \right)\)
Khi đó :
\({V_{AMNP}} = {V_{P.AMO’}} + {V_{N.AMO’}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta AMO’}}.PO’ + \frac{1}{3}.{S_{\Delta AMO’}}.NO’\)
\( = \frac{1}{3}.{S_{\Delta AMO’}}.\left( {PO’ + NO’} \right) = \frac{1}{3}.{S_{\Delta AMO’}}.PN = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AM.OO’.PN\)\( = \frac{1}{6}.AM.NP.OO’\)
Chu vi đường tròn đáy \(2\pi R = AB\) \( \Leftrightarrow R = \frac{{AB}}{{2\pi }} = \frac{{4a}}{{2\pi }} = \frac{{2a}}{\pi } \Rightarrow AM = NP = 2R = \frac{{4a}}{\pi }\)
\( \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{1}{6}.AM.NP.OO’ = \frac{1}{6}.\frac{{4a}}{\pi }.\frac{{4a}}{\pi }.2a = \frac{{16{a^3}}}{{3{\pi ^2}}}\).
===========
Trả lời