(Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) và hai điểm \(A(3;0;0);B( – 1;1;0)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc mặt cầu \((S)\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(MA + 3MB\).

Câu hỏi:

A. \(2\sqrt {34} \)

B. \(\sqrt {26} \)

C. 5

D. \(\sqrt {34} \)

Lời giải:

Gọi \(M(x;y;z)\) là điểm cần tìm.

Ta có \(:M \in (S) \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 1 = 0\).

\(MA = \sqrt {{{(x – 3)}^2} + {y^2} + {z^2}} ;MB = \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y – 1)}^2} + {z^2}} .\)\(\)

Suy ra: \(MA + 3MB = \sqrt {{{(x – 3)}^2} + {y^2} + {z^2}} + 3\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y – 1)}^2} + {z^2}} \)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {{{(x – 3)}^2} + {y^2} + {z^2} + 8\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) – 8} + 3\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y – 1)}^2} + {z^2}} \\ = 3\sqrt {{{\left( {x – \frac{1}{3}} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + 3\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y – 1)}^2} + {z^2}} \\ = 3(MC + MB) \ge 3BC{\rm{ v\’o i }}C\left( {\frac{1}{3};0;0} \right).\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(MA + 3MB\) bằng \(5khi\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}M = BC \cap (S)\\\overrightarrow {CM} = k \cdot \overrightarrow {CB} (k > 0)\end{array}\end{array} \Rightarrow M\left( {\frac{{3 – 8\sqrt 6 }}{{25}};\frac{{4 + 6\sqrt 6 }}{{25}};0} \right).} \right.\)\(\)

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC