(Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f\prime (x) = (x + 3)\left( {{x^2} – 2} \right)\forall x \in \mathbb{R}\). Tìm tất cả các giá trị thực không âm của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f(|\sin x + \sqrt 3 \cos x| + m)\) có nhiều điểm cực trị nhất trên \(\left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\frac{{11\pi }}{{12}}} \right]\).

A. \(m \in \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}, + \infty } \right)\).

B. \(m \in \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2},1} \right)\).

C. \(m \in (\sqrt 2 – 1,\sqrt 2 )\)

D. \(m \in \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2},\sqrt 2 } \right)\).

Lời giải:

Có \(f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow (x + 3)\left( {{x^2} – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = – 3}\\{x = \sqrt 2 }\\{x = – \sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

\(g\prime (x) = \left( {\sqrt {{{\left[ {2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]}^2}} + m} \right)\prime f\prime (|\sin x + \sqrt 3 \cos x| + m)\)

\(g\prime (x) = \frac{{2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \cdot 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{{\sqrt {{{\left[ {2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]}^2}} }} \cdot f\prime \left( {\left| {2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right| + m} \right)\)

\(\)\(g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\\f\prime \left( {\left| {2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right| + m} \right) = 0\end{array}\end{array}\mid \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\\\left| {2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right| + m = – 3\\\left| {2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right| + m = \sqrt 2 \\\left| {2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right| + m = – \sqrt 2 \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{}\end{array}} \right.\)

Xét \(u = \left| {2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right|\)

Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì các phương trình \((1),(2),(3),(4)\) có nhiều nghiệm nhất \(x \in \left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\frac{{11\pi }}{{12}}} \right]\), suy ra \(u = \left| {2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right| \in (0,1)\).

Khi đó \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < – m – 3 < 1}\\{0 < \sqrt 2 – m < 1}\\{0 < – \sqrt 2 – m < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ – 4 < m < – 3}\\{\sqrt 2 – 1 < m < \sqrt 2 }\\{ – \sqrt 2 – 1 < m < – \sqrt 2 }\end{array}} \right.} \right.\). Vì \(m \ge 0 \Rightarrow m \in (\sqrt 2 – 1,\sqrt 2 )\).

Do đó \(m \in (\sqrt 2 – 1,\sqrt 2 )\).