(Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương-2022) Cho hàm số \(y = f\prime (x)\) như hình vẽ. Biết rằng \(f(3) = 2f(5) = 4\). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình

\(f\left( {\frac{1}{2}f(x) – m} \right) = 2x + 2m\) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

A. \(8 \cdot \)

B. 6.

C. 3.

D. 7.

Lời giải:

Đặt \(\frac{1}{2}f(x) – m = u \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = 2u + 2m}\\{f(u) = 2x + 2m}\end{array} \Rightarrow f(u) + 2u = f(x) + 2x} \right.\).

Xét hàm số \(g(t) = f(t) + 2t \Rightarrow g\prime (t) = f\prime (t) + 2 \ge – 2 + 2 = 0\quad \forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó hàm số \(g(t)\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow u = x \Leftrightarrow \frac{1}{2}f(x) – m = x \Leftrightarrow h(x) = \frac{1}{2}f(x) – x = m\).

Xét hàm số \(h(x) = \frac{1}{2}f(x) – x \Rightarrow h\prime (x) = \frac{1}{2}f\prime (x) – 1\).

\( \Rightarrow h\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}f\prime (x) = 1 \Leftrightarrow f\prime (x) = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = – 3 \Rightarrow h( – 3) = \frac{1}{2}f( – 3) – ( – 3) = 5\\x = 0\\x = 5 \Rightarrow h(5) = \frac{1}{2}f(5) – (5) = – 4\end{array}\end{array}} \right.\)\(\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(h(x) = \frac{1}{2}f(x) – x\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có 3 nghiệm khi \( – 4 < m < 5\).

Do \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4\} \)

Vậy có 8 giá trị nguyên của \(m\).