(Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(R\) và có đồ thị có 3 điểm cực trị như hình dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = f\left( {{x^3} – 3x + 2} \right)\) là
A. 5.
B. 9.
C. 11.
D. 7.
Lời giải:
Ta có \(g\prime (x) = \left( {3{x^2} – 3} \right)f\prime \left( {{x^3} – 3x + 2} \right),\quad g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm 1}\\\begin{array}{l}{x^3} – 3x + 2 = {m_1}\left( 1 \right)\\{x^3} – 3x + 2 = {m_2}\left( 2 \right)\\{x^3} – 3x + 2 = {m_3}\left( 3 \right)\end{array}\end{array}} \right.\)
\({m_1} \in ( – 4; – 1);{m_2} \in ( – 1;0);{m_3} \in (0;1)\)
Xét hàm số \(y = {x^3} – 3x + 2\), có \(y\prime = 3{x^2} – 3\)
Với \({m_1} \in ( – 4; – 1) \Rightarrow (1)\) có 1 nghiệm
Với \({m_2} \in ( – 1;0) \Rightarrow (2)\) có 1 nghiệm
Với \({m_3} \in (0;1) \Rightarrow (3)\) có 3 nghiệm phân biệt
Vậy \(g\prime (x) = 0\) có 7 nghiệm bội lẻ, nên có 7 điểm cực trị.
Trả lời