(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\log x}}}} = \log x\) có \(\)3 nghiệm phân biệt?

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Chọn C

Điều kiện: \(x > 0\).

Đặt: \(t = \sqrt[3]{{m + 3\log x}} \Rightarrow {t^3} = m + 3\log x \Rightarrow m = {t^3} – 3\log x\).

Phương trình đã cho trở thành: \(\sqrt[3]{{{t^3} – 3\log x + 3t}} = \log x\)

\( \Leftrightarrow {t^3} – 3\log x + 3t = {\log ^3}x\)

\( \Leftrightarrow {t^3} + 3t = {\log ^3}x + 3\log x\,\,\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( u \right) = {u^3} + 3u\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow f’\left( u \right) = 3{u^2} + 3 > 0,\,\,\forall u \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \)Hàm số \(y = f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). \(\left( 2 \right)\)

Khi đó, phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(f\left( t \right) = f\left( {\log x} \right)\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) \( \Leftrightarrow t = \log x \Leftrightarrow \sqrt[3]{{m + 3\log x}} = \log x \Leftrightarrow m = {\log ^3}x – 3\log x\,\,\left( 4 \right)\).

Đặt: \(v = \log x\)

Ta thấy: ứng với một nghiệm \(v\) thuộc \(\mathbb{R}\) sẽ cho ra một nghiệm \(x\) thuộc \(\left( {0\,; + \infty } \right)\).

Phương trình \(\left( 4 \right)\) trở thành: \(m = {v^3} – 3v\). Đặt: \(g\left( v \right) = {v^3} – 3v \Rightarrow g’\left( v \right) = 3{v^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow v = \pm 1\).

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m = g\left( v \right)\) có ba nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow – 2 < m < 2\). Mà \(m \in \mathbb{Z}\), nên \(m \in \left\{ { – 1\,;0\,;1} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.