(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\log x}}}} = \log x\) có \(\)3 nghiệm phân biệt?
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
Lời giải:
Chọn C
Điều kiện: \(x > 0\).
Đặt: \(t = \sqrt[3]{{m + 3\log x}} \Rightarrow {t^3} = m + 3\log x \Rightarrow m = {t^3} – 3\log x\).
Phương trình đã cho trở thành: \(\sqrt[3]{{{t^3} – 3\log x + 3t}} = \log x\)
\( \Leftrightarrow {t^3} – 3\log x + 3t = {\log ^3}x\)
\( \Leftrightarrow {t^3} + 3t = {\log ^3}x + 3\log x\,\,\left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( u \right) = {u^3} + 3u\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\( \Rightarrow f’\left( u \right) = 3{u^2} + 3 > 0,\,\,\forall u \in \mathbb{R}\).
\( \Rightarrow \)Hàm số \(y = f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). \(\left( 2 \right)\)
Khi đó, phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(f\left( t \right) = f\left( {\log x} \right)\,\,\left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) \( \Leftrightarrow t = \log x \Leftrightarrow \sqrt[3]{{m + 3\log x}} = \log x \Leftrightarrow m = {\log ^3}x – 3\log x\,\,\left( 4 \right)\).
Đặt: \(v = \log x\)
Ta thấy: ứng với một nghiệm \(v\) thuộc \(\mathbb{R}\) sẽ cho ra một nghiệm \(x\) thuộc \(\left( {0\,; + \infty } \right)\).
Phương trình \(\left( 4 \right)\) trở thành: \(m = {v^3} – 3v\). Đặt: \(g\left( v \right) = {v^3} – 3v \Rightarrow g’\left( v \right) = 3{v^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow v = \pm 1\).
Bảng biến thiên:
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m = g\left( v \right)\) có ba nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow – 2 < m < 2\). Mà \(m \in \mathbb{Z}\), nên \(m \in \left\{ { – 1\,;0\,;1} \right\}\).
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trả lời