(Chuyên Lam Sơn – 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho 3 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right)\) có phương trình \(\left( {{d_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2{t_1}}\\{y = 1 + {t_1}}\\{z = 1 – 2{t_1}}\end{array},\left( {{d_2}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + {t_2}}\\{y = – 1 + 2{t_2}}\\{z = 2 + 2{t_2}}\end{array},\left( {{d_3}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + 2{t_3}}\\{y = 4 – 2{t_3}}\\{z = 1 + {t_3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) tiếp xúc với 3 đường thẳng đó. Giá trị nhỏ nhất của \(R\) gần số nào nhất trong các số sau:

A. 2,1.

B. 2,2.

C. 2,3.

D. 2,4.

Lờí giải

Ta có: \(\left( {{d_1}} \right)\) đi qua điểm \(A(1;1;1)\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = (2;1; – 2)\).

\(\left( {{d_2}} \right)\) đi qua điểm \(B(3; – 1;2)\) có VTCP \(\overline {{u_2}} = (1;2;2)\).

\(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua điểm \(C(4;4;1)\) có \(VTCP\overline {{u_3}} = (2; – 2;1)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overline {{u_2}} = 0,\overline {{u_2}} \cdot \overline {{u_3}} = 0,\overline {{u_3}} \cdot \overrightarrow {{u_1}} = 0 \Rightarrow \left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right)\) đôi một vuông góc với nhau.

\(\left[ {\overline {{u_1}} ,\overline {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} \ne 0,\left[ {\overline {{u_2}} ,\overline {{u_3}} } \right] \cdot \overrightarrow {BC} \ne 0,\left[ {\overline {{u_3}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] \cdot \overrightarrow {CA} \ne 0 \Rightarrow \left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right)\) đôi một chéo nhau.

Lại có: \(\overline {AB} = (2; – 2;1);\overline {AB} \cdot \overrightarrow {{u_1}} = 0\) và \(\overline {AB} \cdot \overline {{u_2}} = 0\) nên \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right)\) chứa 3 cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ.

Vì mặt cầu tâm \(I(a;b;c)\) tiếp xúc với 3 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right)\) nên bán kính \(R = d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right) = d\left( {I,{d_3}} \right) \Leftrightarrow {R^2} = {d^2}\left( {I,{d_1}} \right) = {d^2}\left( {I,{d_2}} \right) = {d^2}\left( {I,{d_3}} \right)\) \( \Leftrightarrow {R^2} = {\left( {\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} ,{{\vec u}_1}} \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {CI} ,\overrightarrow {{u_3}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overline {{u_3}} } \right|}}} \right)^2}\), ta thấy \({\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{u_3}} } \right|^2} = 9\) và

\(\overrightarrow {AI} = (a – 1;b – 1;c – 1),\left[ {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = ( – 2b – c + 3;2a + 2c – 4;a – 2b + 1)\)\(\)

\(\overrightarrow {BI} = (a – 3;b + 1;c – 2),\left[ {\overrightarrow {BI} ,\overline {{u_2}} } \right] = (2b – 2c + 6; – 2a + c + 4;2a – b – 7).\)\(\)

\(\overrightarrow {CI} = (a – 4;b – 4;c – 1),\left[ {\overline {CI} ,\overline {{u_3}} } \right] = (b + 2c – 6; – a + 2c + 2; – 2a – 2b + 16).\)

\(9{R^2} = {\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} ,{{\vec u}_1}} \right]} \right|^2} = {\left| {\left[ {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|^2} = {\left| {\left[ {\overrightarrow {CI} ,\overrightarrow {{u_3}} } \right]} \right|^2} \Rightarrow 27{R^2} = {\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} ,{{\vec u}_1}} \right]} \right|^2} + {\left| {\left[ {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|^2} + {\left| {\left[ {\overrightarrow {CI} ,\overrightarrow {{u_3}} } \right]} \right|^2}\)

\( = 18\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) – 126a – 54b – 54c + 423 = 18{\left( {a – \frac{7}{2}} \right)^2} + 18{\left( {b – \frac{3}{2}} \right)^2} + 18{\left( {c – \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{243}}{2} \ge \frac{{243}}{2}\)

\( \Rightarrow {R_{\min }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\), \(R \approx 2,12.\)