(Chuyên Lam Sơn 2022) Cho hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y = {f^2}(g(x))\) với \(g(x) = {x^2} – 4x + 2\sqrt {4x – {x^2}} \)
A. 17.
B. 21.
C. 23.
D. 19.
Lời giải:
Xét hàm số \(g(x) = {x^2} – 4x + 2\sqrt {4x – {x^2}} \):
TXĐ\(:[0;4]\)
\(g\prime (x) = 2x – 4 + \frac{{2(2 – x)}}{{\sqrt {4x – {x^2}} }} = 2(x – 2)\frac{{\sqrt {4x – {x^2}} – 1}}{{\sqrt {4x – {x^2}} }},\forall x \in (0;4)\);
\(g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{\sqrt {4x – {x^2}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = 2 \pm \sqrt 3 }\end{array}} \right.} \right.\)
\(y = {f^2}(g(x)) \Rightarrow y\prime = 2f(g(x)) \cdot g\prime (x)f\prime (g(x))\);
\(\)
\(y\prime = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(g(x)) = 0\,\left( 1 \right)\\g\prime (x) = 0\,\left( 2 \right)\\f\prime (g(x)) = 0\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)\(\)
\((1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g(x) = a(4)}\\{g(x) = b(5)(0 < a < b < 1)}\\{g(x) = 1(6)}\end{array}} \right.\)
\((3) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g(x) = c(7)}\\{g(x) = d(8)}\end{array}(0 < a < c < b < d < 1)} \right.\)
Mỗi phương trình \((4),(5),(7),(8)\) có 4 nghiệm phân biệt
Phương trình \((6)\) có nghiệm kép \(x = 1\)
Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt
Tất cả các nghiệm của các phương trình \((2),(4),(5),(7),(8)\) là phân biệt và \(y\prime \) đổi dấu qua các nghiệm đó.
\(y\prime \) không đổi dấu qua \(x = 1\).
Vậy hàm số đã cho có 19 điểm cực trị.
Trả lời