Câu hỏi:
Chon \(x,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + {2^{x + y}} = 2 + {16^{xy}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2}y + x{y^2} + \frac{8}{{xy}}\)bằng
A. \(14\).
B. \(10\).
C. \(12\).
D. \(20\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \({\log _2}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + {2^{x + y}} = 2 + {16^{xy}} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{x + y}}{{xy}}} \right) + {2^{x + y}} = {\log _2}4 + {2^{4xy}}\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + y} \right) – {\log _2}\left( {xy} \right) + {2^{x + y}} = {\log _2}4 + {2^{4xy}} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + y} \right) + {2^{x + y}} = {\log _2}\left( {xy} \right) + {\log _2}4 + {2^{4xy}}\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + y} \right) + {2^{x + y}} = {\log _2}\left( {4xy} \right) + {2^{4xy}}\). Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {2^t}\). Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + {2^t}\ln 2 > 0,\,\,\forall t > 0\) do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Suy ra : \({\log _2}\left( {x + y} \right) + {2^{x + y}} = {\log _2}\left( {4xy} \right) + {2^{4xy}} \Leftrightarrow f\left( {x + y} \right) = f\left( {4xy} \right) \Leftrightarrow x + y = 4xy\,\,\left( * \right)\)
Từ hệ thức \(\left( * \right)\) ta có \(4xy = x + y \ge 2\sqrt {xy}\Rightarrow \sqrt {xy}\ge \frac{1}{2} \Rightarrow xy \ge \frac{1}{4}.\)
Khi đó \(P = {x^2}y + x{y^2} + \frac{8}{{xy}} = xy\left( {x + y} \right) + \frac{8}{{xy}} = 4{\left( {xy} \right)^2} + \frac{8}{{xy}} = 4\left[ {{{\left( {xy} \right)}^2} + \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{xy}}} \right] \ge 4.3 = 12.\)
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {xy} \right)^2} = \frac{1}{{xy}}\\x + y = 4xy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 \\y = 2 – \sqrt 3 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – \sqrt 3 \\y = 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng 12.
.
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời