Câu hỏi:
Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{3}{\log _3}\frac{{3x + y}}{{x + 6y}} =- 2x + 5y\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{16{x^4} – 32{x^3}y + 125}}{{{{\left( {2x + y} \right)}^2}}}\) bằng
A. \(\frac{{125}}{{16}}\)
B. \(\frac{{125}}{{18}}\)
C. \(\frac{{125}}{8}\).
D. \(\frac{{125}}{{12}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Điều kiện: \(\frac{{3x + y}}{{x + 6y}} > 0\)
\(\begin{array}{l}\frac{1}{3}{\log _3}\frac{{3x + y}}{{x + 6y}} =- 2x + 5y \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3x + y} \right) – {\log _3}\left( {x + 6y} \right) =- 6x + 15y\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3x + y} \right) – {\log _3}\left( {x + 6y} \right) = 3\left( {x + 6y} \right) – 3\left( {3x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3x + y} \right) + 3\left( {3x + y} \right) = {\log _3}\left( {x + 6y} \right) + 3\left( {x + 6y} \right)\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + 3t\) với \(t > 0\)
\(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 3 > 0,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow f\left( t \right)\)đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {3x + y} \right) = f\left( {x + 6y} \right) \Leftrightarrow 3x + y = x + 6y \Leftrightarrow 2x = 5y\)
\(P = \frac{{{{\left( {2x} \right)}^4} – 4{{\left( {2x} \right)}^3}y + 125}}{{{{\left( {2x + y} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {5y} \right)}^4} – 4{{\left( {5y} \right)}^3} + 125}}{{{{\left( {5y + y} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{125{y^4} + 125}}{{36{y^2}}} = \frac{{125}}{{36}}\left( {{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right) \ge \frac{{125}}{{36}}2\sqrt {{y^2}.\frac{1}{{{y^2}}}}= \frac{{125}}{{18}}\). Vậy \({P_{\min }} = \frac{{125}}{{18}}\)khi \(x = \frac{5}{2};\,y = 1\)
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời