• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Cho tứ diện \(ABCD\), trên các cạnh \(BC,\,\,BD,\,\,AC\) lần lượt lấy các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) sao cho \(BC = 3BM,\,\,BD = \dfrac{3}{2}BN,\,\,AC = 2AP\). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành 2 phần có thể tích là \({V_1},\,\,{V_2}\)

Đăng ngày: 27/05/2022 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Khối đa diện Tag với:The tich da dien VDC, VDC Toan 2022, vdc-toan-2022

adsense

Cho tứ diện \(ABCD\), trên các cạnh \(BC,\,\,BD,\,\,AC\) lần lượt lấy các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) sao cho \(BC = 3BM,\,\,BD = \dfrac{3}{2}BN,\,\,AC = 2AP\). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành 2 phần có thể tích là \({V_1},\,\,{V_2}\). Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)


  • A.
    \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{26}}{{19}}\)

  • B.
    \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{3}{{19}}\)

  • C.
    \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{15}}{{19}}\)

  • D.
    \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{26}}{{13}}\)

Lời giải tham khảo:

Cho tứ diện (ABCD), trên các cạnh (BC,,,BD,,,AC) lần lượt lấy các điểm (M,,,N,,,P) sao cho (BC = 3BM,,,BD = dfrac{3}{2}BN,,,AC = 2AP). Mặt phẳng (left( {MNP} right)) chia khối tứ diện (ABCD) thành 2 phần có thể tích là ({V_1},,,{V_2}) 1

Trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(E = MN \cap CD\).

Trong \(\left( {ACD} \right)\) gọi \(Q = AD \cap PE\).

Khi đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là tứ giác \(MNQP\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BCD ta có:

adsense

\(\dfrac{{MB}}{{MC}}.\dfrac{{EC}}{{ED}}.\dfrac{{ND}}{{NB}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{EC}}{{ED}}.\dfrac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{EC}}{{ED}} = 4\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD ta có:

\(\dfrac{{PA}}{{PC}}.\dfrac{{EC}}{{ED}}.\dfrac{{QD}}{{QA}} = 1 \Rightarrow 1.4.\dfrac{{QD}}{{QA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{QD}}{{QA}} = \dfrac{1}{4}\) Ta có: \({V_{ABMNQ}} = {V_{ABMN}} + {V_{AMNP}} + {V_{ANPQ}}\)

\(\begin{array}{l} + )\,\,\dfrac{{{S_{BMN}}}}{{{S_{BCD}}}} = \dfrac{{BM}}{{BC}}.\dfrac{{BN}}{{BD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} \Rightarrow \dfrac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{2}{9}\\ + )\,\,\dfrac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{AMNC}}}} = \dfrac{{AP}}{{AC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{AMNP}} = \dfrac{1}{2}{V_{AMNC}}\\\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{S_{NMC}}}}{{{S_{DBC}}}} = \dfrac{{d\left( {N;BC} \right).MC}}{{d\left( {D ;BC} \right).BC}} = \dfrac{{NB}}{{DB}}.\dfrac{{MC}}{{BC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_{AMNC}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow {V_{AMNP}} = \dfrac{2}{9}{V_{ABCD}}\\ + )\,\,\dfrac{{{V_{APQN}}}}{{{V_{ACDN}}}} = \dfrac{{AP}}{{AC}}.\dfrac{{AQ}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow {V_{APQN}} = \dfrac{2}{5}{V_{ACDN}}\\\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{S_{CND}}}}{{{S_{CBD}}}} = \dfrac{{DN}}{{DB}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{{V_{ACDN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {V_{APQN}} = \dfrac{2}{{15}}{V_{ABCD}}\end{array}\)

\( \Rightarrow {V_{ABMNQ}} = {V_{ABMN}} + {V_{AMNP}} + {V_{ANPQ}} = \dfrac{2}{9}{V_{ABCD}} + \dfrac{2}{9}{V_{ABCD}} + \dfrac{2}{{15}}{V_{ABCD}} = \dfrac{{26}}{{45}}{V_{ABCD}}\).

Gọi \({V_1} = {V_{ABMNQ}},\,\,{V_2}\) là thể tích phần còn lại \( \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{26}}{{19}}\).

Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Khối đa diện Tag với:The tich da dien VDC, VDC Toan 2022, vdc-toan-2022

Bài liên quan:

  1. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\)có \(I\)là giao điểm của \(AC\)và \(BD\). Gọi \({V_1}\)và \({V_2}\) lần lượt là thể tích của các khối \(ABCD.A’B’C’D’\) và \(I.A’B’C’\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

  2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi \(AB = 2a;\widehat {ABC} = 60^\circ \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.MNPQ\)bằng

  3. Cho hình chóp \(SABC\) có \(SC = 2a\) và \(SC \bot (ABC).\) Đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AB = a\sqrt 2 .\) Mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(C\) và vuông góc với \(SA,\) \((\alpha )\) cắt \(SA,SB\) lần lượt tại \(D,E.\) Tính thể tích khối chóp \(SCDE.\)

  4. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có\(AB = 4a,\,\,BC = a\sqrt 3 ,\,\,\widehat {ABC} = {60^0}\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A’\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\) và \(\left( {A’B’C’D’} \right)\) bằng \({60^0}\). Thể tích của hình hộp đã cho bằng

  5. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\),\(AB = a\sqrt 3 ,AC = a\). Biết khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{4}\), từ \(B\) đến mặt phẳng \((SAC)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\), từ \(C\) đến mặt phẳng \((SAB)\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\) và hình chiếu của \(S\)lên mặt phẳng \((ABC)\) nằm trong tam giác \(ABC\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

  6. Cho lăng trụ đều $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Biết rằng góc giữa $\left(A^{\prime} B C\right)$ và $(A B C)$ là $30^{\circ}$, tam giác $A^{\prime} B C$ có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$
  7. Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m – 4\). Tìm để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị?
  8. Một tấm kim loại hình Elip có độ dài trục lớn bằng \(80cm\) và độ dài trục bé bằng \(60cm\). Hai đường Parabol \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) đi qua tâm và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của Elip, đồng thời \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) đối xứng nhau qua trục lớn phân chia Elip thành hai phần (như hình vẽ). Phần tô màu người ta mạ Đồng, phần còn lại người ta mạ Bạ C. Giá mạ đồng là 100 ngàn đồng/\(d{m^2}\) và giá mạ bạc là 200 ngàn đồng/\(d{m^2}\). Hỏi số tiền để mạ tấm kim loại trên gần với số nào nhất trong các số sau?
  9. Trường ĐHBK Hà Nội có cổng là hình dáng của một parabol có khoảng cách 2 chân cổng là 10m, chiều cao cổng là 12,5m. Để chuẩn bị trang trí cổng chào mừng năm mới, nhà trường muốn làm cánh cửa cổng hình chữ nhật có 2 đỉnh nằm trên parabol còn 2 đỉnh dưới mặt đất như hình vẽ, phần diện tích không làm cánh cổng nhà trường dùng để trang trí hoa (tham khảo hình vẽ). Biết chi phí để trang trí \(1{m^2}\) hoa là 300.000 đồng. Nhà trường mua hoa với chi phí thấp nhất gần đúng với giá trị nào sau đây?
  10. Chuẩn bị cho lễ Halloween, bạn Nam đã làm một chiếc mũ “cách điệu” có hình dáng là một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ sau đây. Biết rằng \(OO’ = 5cm,\;OA = 10cm,\;OB = 20cm\), đường cong \(AB\) là một phần của parabol có đỉnh là điểm \(A\). Thể tích của chiếc mũ bằng
  11. Người ta muốn trồng hoa trên một miếng đất hình tròn có bán kính bằng \(5\) m. Họ dự định sẽ để lại một phần (phần màu trắng như hình vẽ, trong đó \(AB = 6m\)) để làm việc khá C. Biết mỗi mét vuông trồng hoa cần chi phí 200 nghìn đồng. Hỏi cần bao nhiêu tiềnđể có thể thực hiện dự định này ?
  12. Một nhà máy nhiệt điện sử dụng 90 máng Parabol thu nhiệt năng lượng mặt trời có cùng kích thước, bề mặt cong đều nhau (tham khảo hình vẽ). Mỗi máng có chiều rộng \(2m\), bề dày của khối silic làm mặt máng là \(2dm\), chiều dài \(3m\). Đặt máng tiếp giáp mặt đất có điểm cao nhất của khối silic làm mặt máng so với mặt đất là \(5dm\). Khi đó thể tích (tính theo đơn vị \({m^3}\)) của khối silic làm \(90\) mặt máng là
  13. Người ta phân khu vườn hình chữ nhật \(ABCD\), \(AB = 10{\rm{m}}\), \(AD = 20{\rm{m}}\)thành năm khu vực bởi bốn parabol rồi trồng hoa ở khu vực trung tâm như hình vẽ kèm theo. Trong đó:➀ Hai parabol kề nhau tiếp xúc nhau tại một trong các điểm \(A,\,B,\,C,\,D\).➁ Khu vực trồng hoa là một hình có hai trục đối xứng.Với việc làm như đã nêu thì diện tích của khu vực trồng hoa có thể đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
  14. Để trang trí cho “Lễ hội Hoa xuân 2022” Thành Phố Long Xuyên, từ một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn là 10m, chiều dài trục nhỏ là 6m. Ban tổ chức chia mảnh vườn elip thành hai phần bởi đường tròn có đường kính bằng độ dài trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip như hình vẽ.Trên hình tròn, người ta dự kiến trồng hoa với giá 120.000 đồng/\({m^2}\), phần còn lại của mảnh vườn người ta trồng cỏ với giá 50.000 đồng/\({m^2}\). Hỏi ban tổ chức cần khoảng bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ?
  15. Để kỉ niệm 90 năm thành lập Đoàn TNCS Long Xuyên, đoàn trường THPT Long Xuyên tiến hành xây dựng một bồn hoa hình elip (như hình vẽ) gồm hai phần: Phần thứ nhất (có diện tích \({S_1}\)) giới hạn bởi hình elip và các đường parabol để trồng hoa; phần còn lại (có diện tích \({S_2}\)) để nuôi cá. Biết rằng tỷ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{a\pi + \sqrt 3 }}{{b\pi – \sqrt 3 }}\),\(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \(a.b\).

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.