ĐỀ BÀI:
Cho trụ có thể tích \(V\). Hình lăng trụ đều \(ABC.A’B’C’\) nội tiếp hình trụ. Mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\)chia khối trụ làm hai phần có thể tích lần lượt là \({V_1}\) và \({V_2}\) biết \(\left( {{V_1} < {V_2}} \right)\).
Khi đó tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{a\pi – b\sqrt b }}{{12\pi }}\) với \(\left( {a,b \in N} \right)\). Tính tổng \(T = a + b\).
A. \(T = 16\).
B. \(T = 11\).
C. \(T = 7\).
D. \(T = 14\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(AB = x\),\(AA’ = h\), điều kiện \(x > 0,h > 0\). Gọi \({V_2}\) là thể tích khối lăng trụ\(ABC.A’B’C’\).
Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là \({V_2} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}h\).
Ta có bán kính đường tròn đáy của khối trụ đã cho là \(R = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\). Khi đó thể tích của khối trụ đã cho là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}h = \frac{{\pi {x^2}h}}{3}\).
Từ giả thiết có: \(V = 3{V_1} + {V_2} \Rightarrow {V_1} = \frac{{V – {V_2}}}{3}\)\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{V – {V_2}}}{{3V}} = \frac{{\frac{{\pi {x^2}h}}{3} – \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}h}}{{3\frac{{\pi {x^2}h}}{3}}} = \frac{{4\pi – 3\sqrt 3 }}{{12\pi }}\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\). Vậy \(T = 7\).
===========
Trả lời