Cho số phức \(z\)thoả mãn \(5\left| {z – 2 + i} \right| = \left| {z – 3 + 2i} \right| + 2\left| {z – 1 + 6i} \right|\). Tính giá trị \(T = {\left| {z – 1 – 2i} \right|_{\max }} + {\left| {z + 3 – 8i} \right|_{\min }}\).
A. \(T = \frac{{5 + \sqrt {269} }}{2}\).
B. \(T = \sqrt 2 + 74\).
C. \(T = \sqrt 2 + \sqrt {74} \).
D. \(T = \frac{{5\sqrt {21} – 3\sqrt 5 }}{6}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có: \(5\left| {z – 2 + i} \right| = \left| {z – 3 + 2i} \right| + 2\left| {z – 1 + 6i} \right|\)\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} + 2\sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 6} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \le \sqrt {5\left[ {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} + {{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 6} \right)}^2}} \right]} \)
\( \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} – 4x + 4 + {y^2} + 2y + 1} \right) \le {x^2} – 6x + 9 + {y^2} + 4y + 4 + {x^2} – 2x + 1 + {y^2} + 12y + 36\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} – 12x – 6y – 25 \le 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 4x – 2y – \frac{{25}}{3} \le 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} \le \frac{{40}}{3}\)
\( \Rightarrow \)Tập hợp điểm M biểu diễn số phức \(z\) là hình tròn tâm \(I\left( {2;1} \right)\), bán kính \(R = \frac{{2\sqrt {30} }}{3}\).
Gọi \(C\left( {1;2} \right);D\left( { – 3;8} \right)\).
Ta có: \(MC = \left| {z – 1 – 2i} \right| \Rightarrow {\left| {z – 1 – 2i} \right|_{\max }}\)khi \(MC\) dài nhất.
Mặt khác: \(IC = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 2 < R \Rightarrow C \in \)hình tròn tâm \(I\left( {2;1} \right)\), bán kính \(R = \frac{{2\sqrt {30} }}{3}\).
Mà \(MC \le IC + R \Rightarrow \) \(MC\) dài nhất khi \(MC = IC + R = \sqrt 2 + \frac{{2\sqrt {30} }}{3}{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Ta có: \(MD = \left| {z + 3 – 8i} \right| \Rightarrow {\left| {z + 3 – 8i} \right|_{\min }}\)khi \(MD\) ngắn nhất.
Mặt khác: \(ID = \sqrt {{{\left( { – 5} \right)}^2} + {7^2}} = \sqrt {74} > R \Rightarrow D \notin \)hình tròn tâm \(I\left( {2;1} \right)\), bán kính \(R = \frac{{2\sqrt {30} }}{3}\).
Mà \(MD \ge ID – R \Rightarrow MD\)ngắn nhất khi \(MD = ID – R = \sqrt {74} – \frac{{2\sqrt {30} }}{3}.{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow T = \sqrt 2 + \sqrt {74} .\)
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời