Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thoả mãn \(\frac{{z – 4}}{{z – 4i}}\) là số thuần ảo. Khi số phức \(z\) có mođun lớn nhất, giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + 2b\) bằng

Câu hỏi:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thoả mãn \(\frac{{z – 4}}{{z – 4i}}\) là số thuần ảo. Khi số phức \(z\) có mođun lớn nhất, giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + 2b\) bằng

A. \(4\). 

B. \(8\). 

C. \(24\). 

D. \(20\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Với \(z \ne 4i\) ta có:

\(\frac{{z – 4}}{{z – 4i}} = \frac{{a + bi – 4}}{{a + bi – 4i}}\)\( = \frac{{a – 4 + bi}}{{a + \left( {b – 4} \right).i}}\)\( = \frac{{\left( {a – 4 + bi} \right)\left( {a – \left( {b – 4} \right)i} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b – 4} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{a\left( {a – 4} \right) – \left( {a – 4} \right)\left( {b – 4} \right)i + ab.i + b\left( {b – 4} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b – 4} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{a\left( {a – 4} \right) + b\left( {b – 4} \right) + i\left( {ab – \left( {a – 4} \right)\left( {b – 4} \right)} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b – 4} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{a\left( {a – 4} \right) + b\left( {b – 4} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b – 4} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {ab – \left( {a – 4} \right)\left( {b – 4} \right)} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b – 4} \right)}^2}}}i\)

Vì \(\frac{{z – 4}}{{z – 4i}}\) là số thuần ảo nên \(\frac{{a\left( {a – 4} \right) + b\left( {b – 4} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b – 4} \right)}^2}}} = 0\)

\( \Rightarrow a\left( {a – 4} \right) + b\left( {b – 4} \right) = 0 \Rightarrow {a^2} – 4a + {b^2} – 4b = 0 \Rightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = 8\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(M\)biểu diễn số phức \(z\) nằm trên đường tròn tâm \(I\left( {2;2} \right)\) bán kính \(R = 2\sqrt 2 \)bỏ đi điểm \(\left( {0;4} \right)\).

Do đó, \({\left| z \right|_{{\rm{max}}}}\) khi \(M\) là giao điểm của \(OI:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\end{array} \right.\) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 8\)

\( \Rightarrow \) Giải hệ giữa pt của \(OI\) và \(\left( C \right)\)ta được \(t = 0\) hoặc \(t = 4\)

+ Với \(t = 0\)\( \Rightarrow M \equiv O\) 

+ Với \(t = 4 \Rightarrow M\left( {4;4} \right) \Rightarrow z = 4 + 4i\).Vậy \(P = {a^2} + 2b = 24\).

XEM THÊM

============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia