ĐỀ BÀI:
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = 1\), \(BC = 2\),\(\widehat {CBB’} = 90^\circ \), \(\widehat {ABB’} = 120^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AA’\), biết \(d\left( {AB’,CM} \right) = \frac{{\sqrt 7 }}{7}\). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. \(2\sqrt 2 \).
B. \(\frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).
C. \(4\sqrt 2 \).
D. \(\frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB’\) và \(BM\), kẻ \(IK\,{\rm{//}}\,CM(K \in BC)\).
Ta có: \(\frac{{KC}}{{KB}} = \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{MA}}{{BB’}} = \frac{1}{2}\), \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ \).
Do đó \(d\left( {AB’,CM} \right) = d\left( {CM,(AB’K)} \right) = d\left( {C,(AB’K)} \right) = \frac{{KC}}{{KB}}d\left( {B,(AB’K)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {B,(AB’K)} \right)\).
Xét hình chóp \(B.AB’K\) có \(\widehat {KBB’} = 90^\circ ,\widehat {ABB’} = 120^\circ ,\widehat {ABK} = 60^\circ ,BK = \frac{2}{3}BC = \frac{4}{3}\).
Theo giả thiết \(d\left( {AB’,CM} \right) = \frac{{\sqrt 7 }}{7}\)\( \Rightarrow d\left( {B,(AB’K)} \right) = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\).
Đặt \(BB’ = x\) khi đó ta tính được: \(AB’ = \sqrt {{x^2} + x + 1} ,KB’ = \sqrt {{x^2} + \frac{{16}}{9}} ,AK = \frac{{\sqrt {13} }}{3}\).
Theo công thức tính nhanh thể tính khối chóp tam giác khi biết 3 góc ở đỉnh ta có:
\({V_{B.AB’K}} = \frac{1}{6}.1.\frac{4}{3}.x.\sqrt {1 + 2.cos90^\circ .cos120^\circ .\cos 60^\circ – {{\left( {cos90^\circ } \right)}^2} – {{\left( {cos120^\circ } \right)}^2} – {{\left( {\cos 60^\circ } \right)}^2}} = \frac{{x\sqrt 2 }}{9}\).
\(\cos \widehat {B’AK} = \frac{{{x^2} + x + 1 + \frac{{13}}{9} – \left( {{x^2} + \frac{{16}}{9}} \right)}}{{\frac{{2\sqrt {13\left( {{x^2} + x + 1} \right)} }}{3}}} = \frac{{3x + 2}}{{2\sqrt {13\left( {{x^2} + x + 1} \right)} }}\)
\( \Rightarrow \sin \widehat {B’AK} = \sqrt {1 – \frac{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}{{52\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}} \); \({S_{\Delta AB’K}} = \frac{{\sqrt {43{x^2} + 40x + 48} }}{{12}}\)
Vậy \({V_{B.AB’K}} = \frac{1}{3}.d\left( {B,(AB’K)} \right).{S_{\Delta AB’K}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{x\sqrt 2 }}{9} = \frac{1}{3}.\frac{{2\sqrt 7 }}{7}.\frac{{\sqrt {43{x^2} + 40x + 48} }}{{12}} \Rightarrow x = 4\).
Do đó \({V_{B.AB’K}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{9} \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = 3.{V_{B’.ABC}} = 3.\frac{3}{2}.{V_{B.AB’K}} = 2\sqrt 2 \).
===========
Trả lời