ĐỀ BÀI:
Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng \(R\), hai đáy là hai hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O’} \right)\). Gọi \(AA’\) và \(BB’\) là hai đường sinh bất kì của \(\left( T \right)\) và \(M\)là một điểm di động trên đường tròn \(\left( O \right)\). Thể tích lớn nhất của khối chóp \(M.AA’B’B\) bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{{{R^3}\sqrt 3 }}{4}\).
B. \(\frac{{{R^3}\sqrt 3 }}{2}\).
C. \(\frac{{3{R^3}\sqrt 3 }}{4}\).
D. \(\frac{{{R^3}\sqrt 3 }}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\({V_{M.AA’B’B}} = {V_{M.AA’B}} + {V_{M.A’B’B}} = 2.{V_{M.AA’B}}\)\( = 2.{V_{A’.MAB}}\)
\( = 2.\frac{1}{3}h.{S_{MAB}}\)\( = \frac{2}{3}.R.{S_{MAB}}\).
Vậy khối chóp \(M.AA’B’B\) có thể tích lớn nhất khi \({S_{MAB}}\) đạt giá trị lớn nhất.
Mà \(\Delta MAB\)nội tiếp trong đường tròn bán kính \(R\)cố định, mà \({S_{MAB}} = \frac{{MA.MB.AB}}{{4.R}} = 2{R^2}.{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A.{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B.{\mathop{\rm Sin}\nolimits} M\)\( \le 2{R^2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{8}\).
\({S_{MAB}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(2{R^2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{8}\) (khi đó tam giác \(ABM\) đều).
Khi đó: \({V_{M.AA’B’B}} = \frac{2}{3}.R.{S_{MAB}} = \frac{2}{3}.R.2{R^2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{8} = {R^3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
===========
Trả lời