ĐỀ BÀI:
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.DEF\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Xét \(\left( T \right)\) là hình trụ nội tiếp lăng trụ. Gọi \(M\) là tâm của mặt bên \(BCFE\), mặt phẳng chứa \(AM\) và song song với \(BC\) cắt \(\left( T \right)\) như hình vẽ bên dưới.
Thể tích phần còn lại (như hình trên) của khối \(\left( T \right)\) bằng
A. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{18}}\).
B. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{54}}\).
C. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{27}}\).
D. \(\frac{{2\pi {a^3}}}{{54}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có\(\Delta BCD\) đều nên có bán kính đường tròn nội tiếp \(r = IN = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) \( \Rightarrow DH = DN – 2IN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} – 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Ta lại có \(MN\parallel I’I\parallel AD \Rightarrow \frac{{I’Q}}{{MN}} = \frac{{AQ}}{{AN}} = \frac{{DI}}{{DN}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow I’Q = \frac{2}{3}MN = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AD = \frac{1}{3}AD\)
Tương tự \(\frac{{IQ}}{{AD}} = \frac{{IN}}{{ND}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IQ = \frac{1}{3}AD\).
Suy ra \(I’I = I’Q + IQ = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}a\).
Thể tích phần còn lại của khối \(\left( T \right)\): \(V = I’I.{S_d} = \frac{2}{3}a.\pi {r^2} = \frac{1}{{18}}\pi {a^3}\)
===========
Trả lời