ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với đáy ; \(SA = a\sqrt 6 \). Đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\)
A. \(R = \frac{{a\sqrt {30} }}{3}\).
B. \(R = a\sqrt {\frac{{19}}{6}} \).
C. \(R = a\sqrt 6 \).
D. \(R = a\sqrt {\frac{{114}}{6}} \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Chọn hệ trục tọa độ \({\rm{Ox}}yz\) với \(A \equiv O\) và \(B,D,S\) lần lượt thuộc các trục \(Ox,Oy,Oz\).
Để tính toán đơn giản ta cho \(a = 1\).
Khi đó: \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\), \(D(0;2;0)\), \(E(0;1;0)\), \(S(0;0;\sqrt 6 )\).
Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\) có phương trình dạng:\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( S \right)\\C \in \left( S \right)\\D \in \left( S \right)\\E \in \left( S \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{0^2} + {0^2} + {\left( {\sqrt 6 } \right)^2} – 2.a.0 – 2.b.0 – 2.c.\sqrt 6 + d = 0\\{1^2} + {1^2} + {0^2} – 2.a.1 – 2.b.1 – 2.c.0 + d = 0\\{0^2} + {2^2} + {0^2} – 2.a.0 – 2.b.2 – 2.c.0 + d = 0\\{0^2} + {1^2} + {0^2} – 2.a.0 – 2.b.1 – 2.c.0 + d = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2c\sqrt 6 + d = – 6\\2a + 2b – d = 2\\4b – d = 4\\2b – d = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\\d = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} – 2} = \sqrt {\frac{{19}}{6}} \).
===========
Trả lời