ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình vuông cạnh \(a,\) cạch bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\)Gọi \(H,\,K,\,L\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lê các cạnh \(SB,\,SC,\,SD.\) Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác \(HKL\) và có đỉnh thuộc mặt phẳng \(ABCD.\) Tính thể tích khối nón \(\left( N \right).\)
A. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{12}}.\)
B. \(\frac{{\pi {a^3}}}{6}.\)
C. \(\frac{{\pi {a^3}}}{8}.\)
D. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{24}}.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot SA}\\{CD \bot AD}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AL\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AL \bot SD}\\{AL \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow AL \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AL \bot LK,\,AL \bot SC\)
Tương tự ta có \(AH \bot \left( {SCB} \right) \Rightarrow AH \bot HK,\,AH \bot SC\)
Ta có \(AK \bot SC,AL \bot SC,\,AH \bot SC\, \Rightarrow A,\,H,K,\,L\,\) đồng phẳng và \(SC \bot \left( {HKL} \right)\). Do\(AH \bot HK\), \(AL \bot LK\) nên \(AK\) là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HKL \Rightarrow {R_{\left( {HKL} \right)}} = \frac{{AK}}{2}\).
+) Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \(SA = AC = a\sqrt 2 \Rightarrow \) \(K\) là trung điểm của \(SC,\,AK = \frac{{SC}}{2} \Rightarrow {R_{\left( {HKL} \right)}} = \frac{{AK}}{2} = \frac{{SC}}{4} = \frac{1}{4}SA\sqrt 2 = \frac{1}{2}a\)(*)
+) Do AK là đường kính đường tròn ngọa tiếp tam giác HKL nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HKL là trung điểm của AK. Gọi trung điểm của AK là I, Tâm của đáy là O
\( \Rightarrow IO\,{\rm{//}}\,SC\),Mặt khác ta có \(SC \bot \left( {HKL} \right) \Rightarrow IO \bot \left( {HKL} \right)\)
IO là đường cao của khối nón \(\left( N \right)\), \(IO = \frac{{KC}}{2} = \frac{{SC}}{4} = \frac{1}{2}a.\) (**)
Từ (*) và (**) \( \Rightarrow {V_{\left( N \right)}} = \frac{1}{3}\pi \frac{1}{2}a{\left( {\frac{1}{2}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^3}}}{{24}}.\)
===========
Trả lời