ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(H,\,K,\,L\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,\,SC,\,SD\). Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HKL\) và có đỉnh thuộc mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính thể tích của khối nón \(\left( N \right).\)
A. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{24}}.\)
B. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{12}}.\)
C. \(\frac{{\pi {a^3}}}{8}.\)
D. \(\frac{{\pi {a^3}}}{6}.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có hình vẽ sau:
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot KH\,\left( 1 \right)\)
Lại có \(\left. \begin{array}{l}AL \bot CD\\AL \bot SD\end{array} \right\} \Rightarrow AL \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AL \bot LK\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra tứ giác \(ALKH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AK\).
Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ALKH\) là trung điểm \(I\) của cạnh \(AK\).
Có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), suy ra \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SAC\) vuông cân tại \(A\)\( \Rightarrow AK = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = a\)\( \Rightarrow AI = \frac{a}{2}\).
Xét \(\Delta AKC\) vuông tại \(K\) có \(IO\) là đường trung bình \(\Delta AKC\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI = \frac{1}{2}KC\\OI//KC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI = \frac{a}{2}\\OI \bot \left( {ALKH} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \({V_{\left( N \right)}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}.\pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{a}{2} = \frac{{\pi {a^3}}}{{24}}\).
===========
Để lại phản hồi